Salut,
je suis sur un exercice du calcul matricielle
[tex] A\not\in GL_{n}(K)\Leftrightarrow (\exists B\in {\mathcal M}_{n}(K) \backslash \{O\} ) \quad AB=BA=O [/tex]
donc j'ai raisonne par l'absurde pour la premiere implication : a savoir que en supposant [tex]A[/tex] est inversible on aura [tex]A^{-1}AB=B=O [/tex] ce qui est contradictoire avec [tex]B[/tex] est non nulle .
pour la deuxième implication j'ai besoin d'indication SVP.

Salut,
Pour l'autre implication, Supposons que [tex]A[/tex] est non inversible, alors l'application linéaire cononiquement associée à [tex]A[/tex], à savoir : [tex]\ph_A : {\mathcal M}_{n,1}(K) \to {\mathcal M}_{n,1} (K)[/tex] tel que [tex]\ph_A(X)= AX[/tex] pour tout [tex]X \in {\mathcal M}_{n,1} (K)[/tex] est non injective.
Alors il existe [tex]X \in {\mathcal M}_{n,1} (K)[/tex] tel que [tex]X \neq O[/tex] et [tex]AX=O[/tex].
Soit [tex]B[/tex] la matrice carrée dont toutes les colonnes valent [tex]X[/tex].
Il est facile de voir que [tex]AB=O[/tex] ,or [tex]B \neq O[/tex] (précisément elle est de rang [tex]1[/tex]).

Exemple numérique: [tex]A= \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}[/tex]


[tex]A= \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \Leftrightarrow x+2y=0 [/tex]

Exemple [tex]y=1[/tex] et [tex]x=-2[/tex] donne [tex] X= \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}[/tex]
On prend donc [tex]B= \begin{pmatrix} -2 &-2 \\ 1& 1 \end{pmatrix}[/tex]
On a bien:
[tex] \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 &-2 \\ 1& 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0& 0\end{pmatrix}[/tex]

Merci pour ta reponse, cependant j'ai bien compris pourquoi [tex]\ph_A[/tex] n'est pas injctive.
moi j'ai essaye avec la propriete [tex] \forall M\in M(K) \quad M=P.J_r .Q^{-1} [/tex] avec P et Q sont des matrices inversibles.

Tu veux dire : ''cependant je n'ai pas bien compris ? ''

Si c'est le cas , c'est simple à voir : la matrice de l'endomorphisme [tex]\ph_A[/tex] relativement à la base canonique de [tex]{\mathcal M}_{n,1}(K)[/tex] vaut [tex]A[/tex] et comme [tex]A[/tex] n'est pas inversible , l'endomorphisme [tex]\ph_A[/tex] n'est pas injectif.


Il est à rapeler qu'en dimension finie un endomorphisme est injectif si et seulement si il est surjectif si et seulement si il est bijectif.

Si tu veux utiliser la matrice standarg [tex]J_{n,r}[/tex], je te suggére ce quei suit :
Si [tex]A[/tex] n'est pas inversible soit [tex]r[/tex] le range de [tex]A[/tex] alors [tex]r< n[/tex] d'où [tex]A[/tex] est équivalente à [tex]J_{n,r} = \begin{pmatrix} I_r&O \\O&O_{n-r} \end{pmatrix}[/tex]
Autremet dit il existe [tex]P,Q \in GL_n({\mathbb K})[/tex] tel que [tex]A=PJ_{n,r}Q[/tex]
Soit [tex]K_{n,n-r}=\begin{pmatrix}O_r&O\\O&I_{n-r} \end{pmatrix}[/tex] et [tex]B=Q^{-1}K_{n,n-r} [/tex] alors comme [tex]J_{n,r} \times K_{n;n-r}=O[/tex] (produit de matrices diagonales dont les termes diagonaux valent soit [tex]0[/tex] soit [tex]1[/tex] et si le terme diagonal de l'une est non nul celui qui lui correspond dans l'autre est nul) , on a [tex]AB=O[/tex]
La justification de [tex]B \neq O[/tex] est [tex]n > r[/tex] ( donc [tex]K_{n,n-r} \neq O[/tex].

MERCI (baraka Allah fik)