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sweet-mounir
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Exercice Complexe 05/11/2011 à 23h01
Bonsoir à tous

j'ai un petit prob

etant donné [tex]a\in\mathbb{R}[/tex] et [tex]n\in\mathbb{N}^{\large\ast}[/tex] resoudre l'équation [tex]z\in\mathbb{C}[/tex] et [tex](z+1)=e^{2ina}[/tex]
En déduire la valeur de [tex]P_{n}=\Large \prod_{k=0}^{k=n-1}{\sin(a+\frac{k\pi}{n})}[/tex]
( Remarquer que z est racine du polynome [tex]P=(X+1)^{n}-e^{2ina}[/tex]

et mercii
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elhor_abdelali
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Re : Exercice Complexe 06/11/2011 à 14h35
Bonjour ,

L'équation [tex]\Large\fbox{(z+1)^n=e^{2ina}\;,\;z\in\mathbb C}[/tex] s'écrivant aussi [tex]\Large\fbox{\left((z+1)e^{-2ia}\right)^n=1\;,\;z\in\mathbb C}[/tex]

on voit que les solutions sont les [tex]\Large\fbox{z_k=e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}-1\;,\;k\in\{0,1,..,n-1\}}[/tex] qui sont aussi les [tex]n[/tex] racines

du polynôme [tex]\Large\fbox{Q(X)=(X+1)^n-e^{2ina}}[/tex] qui est clairement de degré [tex]n[/tex] et de coefficient dominant [tex]1[/tex]

d'où [tex]\Large\fbox{Q(X)=\prod_{k=0}^{n-1}(X-z_k)}[/tex] et par suite [tex]\blue\Large\fbox{Q(0)=1-e^{2ina}=(-1)^n\prod_{k=0}^{n-1}z_k}[/tex] et en écrivant

[tex]\Large\fbox{z_k=e^{i(a+\frac{k\pi}{n})}\left(e^{i(a+\frac{k\pi}{n})}-e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})}\right)=2i\sin\left(a+\frac{k\pi}{n}\right)e^{i(a+\frac{k\pi}{n})}\;,\;k\in\{0,1,..,n-1\}}[/tex]

on voit que [tex]\Large\fbox{\prod_{k=0}^{n-1}z_k=(2i)^n.P_n.e^{ina}e^{\frac{i(n-1)\pi}{2}}=2^ne^{\frac{in\pi}{2}}P_n.e^{ina}e^{\frac{i(n-1)\pi}{2}}=-i(-2)^n.e^{ina}P_n}[/tex]

et par suite [tex]\blue\Large\fbox{Q(0)=-2i\sin(na)e^{ina}=-i(-1)^n(-2)^ne^{ina}P_n}[/tex]

ce qui donne [tex]\red\Large\fbox{P_n=\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(a+\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{\sin(na)}{2^{n-1}}}[/tex] (sauf erreur bien entendu)
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