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Dr Red1
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Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 02h13
Salamo Alaykom !

Je n'ai jamais entendu parler de l'exponentiel d'une matrice, mais dans cet exercice et apr√®s avoir trouv√© les valeurs propres de la matrices donn√© ''A'' ainsi que les sous espaces propres associ√©s, il y avait une question dont l'objectif est de calculer l'exponentiel de A, pr√©c√©d√©e d'une question dont le but est de d√©terminer le polyn√īme minimal de A .
Mes questions sont : i) A quoi sert ce polyn√īme minimal ?
ii) Comment calculer l'exponentiel de A ? quelles sont les conditions qui doivent être vérifiés pour qu'on puisse faire ce calcul ?
Voilà le fichier :

Merci bcp !

A+
expo_d_une_matrice.pdf  (187 k)
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 C√© Moi Lhassane
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 10h06
BJR au Forum.
BJR Docteur !!

Le sujet a été abordé de manière pertinente dans le Topic suivant :

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=2a39319e831580882db5364f0a4213c5

Le temps de faire des calculs ... Je reviendrais dans la journée sur ton problème précis .

Amicalement . LHASSANE
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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 11h59
BJR Mr LHASSANE
Je suis encore un étudiant ( Docteur c'est un rêve ^^ ) ... Merci cher Professeur !

Merci pour le lien, je vais faire un coup d'oeil .

J'attend votre retour :)

√Ć√£√ö√Č √£√ą√á√Ď√ü√Č
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 C√© Moi Lhassane
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 14h19
BJR au Forum .
BJR Dr Red1 !!

Ici , le calcul de l'exponentielle de ta matrice A ne pose aucun souci ......
Si on se place dans C .

Le polyn√īme caract√©ristique de A est √©gal √† :
PA'X)=Dét { A-X.I3 } = - X^3 +3.X+2
qui se factorise selon
PA(X)=-(X+1).(X^2+X+2)
Il possède dans C trois racines DISTINCTES :
s1=-1 , s2=(1/2).(-1+i.rac(7)) et s3=(1/2).(-1-i.rac(7))

Ainsi la matrice A est DIAGONALISABLE dans C et il existe une matrice P d'ordre , inversible telle que
P^(-1).A.P soit la matrice diagonale D=Diag { s1;s2;s3 }

P est une metrice de changement de Bases ....

Maintenant , tu reviens à la définition formelle de l'exponentielle d'une matrice carrée ( c'est expliqué dans le Topic que je t'ai signalé plus haut avec des interventions pertinentes de Hicham et Mohamed )
exp(A) est la somme de la série de terme général A^n/n! dans l'algèbre de Banach M3(C) .

De la relation P(-1).A.P=D tu tires que A=P.D.P(-1)
En outre on démontre sans difficultés ( par récurrence sur n ) que :
A^n=P.D^n.P(-1) pour chaque entier naturel n .
On démontre aussi que :

SIGMA { k=0 à n ; A^n/n! } = P. SIGMA { k=0 à n ; D^n/n! }.P^(-1)

Si bien que par passage aux limites ( justifié pleinement ) , on obtiendra :

exp(A)=P.exp(D).P(-1)

Enfin , il n'y a aucune difficulté à prouver que :

exp(D) = Diag { exp(s1);exp(s2);exp(s3) }


Ici , j'ai noté :
Diag { u;v;w } avec u,v et w dans C ; la matrice [tex]\begin{pmatrix}u & 0 & 0 \\ 0 & v & 0 \\ 0 & 0 & w \end{pmatrix}[/tex]

Si tu avais d'autres questions , je suis dispo.....


Amicalement . LHASSANE
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Mohamed
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 14h52
Salut

Merci Lhassan pour ce travail.
Puiqu'on a pas moi et toi trouv√© le m√™me polyn√īme , je donne ma r√©ponse et c'est une bonne chose car
Dr Red1 sera oblig√© lui m√™me de tout refaire pour trouver le bon polyn√īme caract√©ristique :


On essaye de voir si [tex]A[/tex] est diagonalisable.
Un calcul donne le polyn√īme caract√©ristique de [tex]A[/tex] √† savoir : [tex]\chi_A=-X^3+3X+2=-(X - 2)\,(X + 1)^{2}[/tex]

On trouve que [tex]A[/tex] est diagonalisable et que [tex]A=PDP^{-1}[/tex]
avec :
[tex]P = \left[ {\begin{array}{ccc}- a & - a^{2} & a^{2} \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 \end{array}} \right][/tex] , [tex]P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}- \displaystyle \frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {2}{3} & - \displaystyle \frac {a}{3} \\ - \displaystyle \frac {1}{3\,a^{2}} & - \displaystyle\frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {2}{3} \\ \displaystyle \frac {1}{3\,a^{2}} & \displaystyle \frac {1}{3\,a} & \displaystyle \frac {1}{3}\end{array}\right][/tex] et [tex]D= \left[{\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\0& -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}} \right][/tex]


Pour ta qustion sur le polyn√īme minimal , il sert √† beaucoup de choses comme par exemple:
1)Le fait qu'il soit scindé à racines simples est équivalent à la matrice est diagonalisable (dans ce cas il vaut selon mes calculs : [tex]\pi_A=(X+1)(X-2)[/tex]
2) Il sert à calculer les puissances d'une matrice plus rapidement que si on fait un calcul direct :
Si on écrit [tex]X^p=Q \pi_A + R[/tex] avec [tex]\deg (R) < \deg (\pi_A)[/tex] alors [tex]A^p=R(A)[/tex]
3) Il donne des informations sur le polyn√īme cara ct√©ristique puisque d'apr√®s Cayley-Hamilton : [tex]\pi_A | \chi_A[/tex]
4) Il engedre l'id√©al des polyn√īmes annulmateurs de la matrice [tex]A[/tex]
5) On arrive √† d√©montrer des r√©sultas th√©oriques gr√Ęce √† ce polyn√īme : Exemple : si un endomorphisme [tex]f[/tex] est diagobalisable et si [tex]F[/tex] est un sous-espace de [tex]E[/tex] stable par [tex]f[/tex] alors l'endomorphsime [tex]g[/tex] de [tex]F[/tex] induit par [tex]f[/tex] est diagonalisable ...(BEINETNEDU [tex]E[/tex] est suppos√© de dimension finie)
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 C√© Moi Lhassane
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 14h53
Re- BJR !!

C'est juste pour corriger des petites erreurs ayant de grosses incidences sur le reste .....

Remplacer ceci :
<< ...qui se factorise selon
PA(X)=-(X+1).(X^2+X+2)
Il possède dans C trois racines DISTINCTES :
s1=-1 , s2=(1/2).(-1+i.rac(7)) et s3=(1/2).(-1-i.rac(7)) >>

Par ceci :
<< ...qui se factorise selon
PA(X)=(X+1).(-X^2+X+2)
Il possède dans C trois racines :
s1=-1 racine DOUBLE et s2=2 qui est SIMPLE >>

Dans ce cas , il faut chercher les sous espaces propres associés aux valeurs propres s1 et s2 ....
et c'est selon ...
On peut continuer la méthode que j'ai proposée si le sous espaces propre associé à s1 est de dimension 2 ( auquel cas A serait diagonalisable ) .

Sinon , il faudra sans doute réduire A à sa forme de JORDAN et voir ....

Je suis navré pour l'erreur , c'est humain .....

Amicalement . LHASSANE
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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 15h05
Re-Salut !
BJR Mr LHASSANE !

Pour le polyn√īme caract√©ristique, je crois qu'il y a une faute de calcul involontaire dans la factorisation de PA(x), car j'ai trouv√© comme valeurs propres 2 et -1 ( de multiplicit√© 2 ) !

Je vais taper ces trucs l√† ( avec mon essaye bien s√Ľr) rapidement sur Math√©matica ( fichier PDF) , apr√®s je le mettrai √† votre disposition ici !

A+
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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 15h47
Re !

J'ai fait un essaye rapidement !

Mais je suis arrêté à A^n .
Il reste à calculer l'expo de A, mais dans le commentaire de Mr Lhassane, vous avez dit :
" exp(A) est la somme de la série de terme général A^n/n! dans l'algèbre de Banach M3(C) "
donc comme on a trouvé des racines réelles, on n'en aura pas besoin , n'est ce pas ???

Vous avez écrit aussi :

" exp(A)=P.exp(D).P(-1)"
Je ne sais vraiment pas comment la démontrer !
d'après cette égalité on peut facilement calculer l'exo de A car on a déjà D ...

Voila d'abord mon essaye, j'attend avec impatience vos contributions !

Amicalement !
mon_essayeee.pdf  (119 k)
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 C√© Moi Lhassane
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 16h58
BJR Mohamed et Dr Red1

@ Mohamed : Merci , ce sont des choses qui arrivent et ..... il faut avoir l'humilité de le reconnaitre .
Les Erreurs .. C'est HUMAIN !!!

@ Red1 : J'ai écrit M3(C) car j'ai été induit par ma propre erreur dans le calcul de PA(X) .
C'est vrai que l'on travaille en fait dans M3(IR) et tuas RAISON .

Pour ton autre question , j'ai écrit ceci :
<< En outre on démontre sans difficultés ( par récurrence sur n ) que :
A^n=P.D^n.P(-1) pour chaque entier naturel n .
On démontre aussi que :

SIGMA { k=0 à n ; A^n/n! } = P. SIGMA { k=0 à n ; D^n/n! }.P^(-1)

Si bien que par passage aux limites ( justifié pleinement ) , on obtiendra :

exp(A)=P.exp(D).P(-1) >>

Tu devrais voir comment est fabriquée exp(A) et faire marcher la distributivité à Droite et à Gauche de la Multiplication dans M3(IR) .
Je sais que c'est un peu délicat pour toi ...
Il faut juste aller lentement pour démonter le Mécanisme !!
L'exponentielle de matrice sert beaucoup quand on veut résoudre un Système Différentiel Linéaire du genre :
X'(t) =A.X(t) avec A matrice carrée nxn et X(t) un vecteur uni-colonne , n lignes formé de n fonctions inconnues de t et dérivables .....

Je vais lire calmement ton PROJET et te ferais part de mes remarques le cas échéant !!


Amicalement . LHASSANE

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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 17h10
BJR !

Oui il y a pas mal de choses que je n'arrive pas à comprendre voire les démontrer ! ^^"
c'est pas du tout ma faute, c'est à cause de quelques profs qui donnent des trucs comme ça avec un cours qui est très pauvre ! ça nous pousse quand même à chercher et fournir des efforts multiples !

J'attend impatiemment vos remarques .

A+
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Mohamed
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 18h06
Salut,

Lhassane: C'est plus que normal une petite erreur de signe ou qq ch comme ça !

Dr Red1 : C'est bien ce que tu as fait à l'aide de Mathematica.
Comme notre matrice est diagonalisable, son exponetielle se calcule directement :

[tex]e^A=P\left(\begin{array}{ccc}e^^{-1}&0&0\\0&e^{-1}&0\\0&0&e^2 \end{array} \right)P^{-1}[/tex] o√Ļ [tex]P[/tex] est la matrice donn√©e ci-dessus ..
Il suffit donc d'achever les calculs et tu as ton résultat.
Pour ce qu'a dit Mr Lhassane j'ajoute que g√©n√©ralement si on a une relation matricielle de similitude, disons : [tex]M=PNP^{-1}[/tex] alors elle est conserv√©e par l'action de tout polyn√īme. Autrement dit si Q est un polyn√īme
alors : [tex]M=PQ(N)P^{-1}[/tex].


PS: Pour tapper facilement vos équation j'ai mis un truc ici
On peut l'utiliser pour tapper le message et faire un transfert vers mathsland via un copier/coller
Il sera amélioré avec le temps ...
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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 18h44
Bonsoir Mr Mohamed !

Je crois que vous voulez écrire :
exp(A)=P.exp(D).P(-1) et non exp(A)=P D P(-1) ??!

En ce qui concerne A^p=R(A) que j'ai calcul√© √† l'aide du polyn√īme minimal, pourquoi on l'a pas utilis√© ?
le " p " appartient à quel ensemble ?
Un ami à moi a remplacé le "p" par "e" et il a trouvé :
A^e= alpha* A+beta ( cité dans le fichier '' mon essayee " ci dessus) en remplaçant p par e dans les expressions de alpha et de beta, après il a conclu en écrivant : e^A= [e²-(1/e)]/3*A+[(2/e)+e²]/3 ! Est ce vrai ? Je ne suis pas arrivé à comprendre comment peut on changer disant '' la place " de " e " par A ????

Amicalement !

PS: je ne sais pas comment utiliser le Latex ! Pour le lien que vous m'avez donn√©, quand j'ai cliqu√© sur '' matrice carr√©e de taille 3 '' il m'a donn√© \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k \end{array} \right) ... O√Ļ dois je √©crire les chiffres ?

DSL ^^''
Espace
Mohamed
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 18h57
Salut

Ce que je voulais dire c'est maintenat en haut (le voir)

Pour les codes

\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k \end{array} \right)


correspnd au code de la matrice [tex]\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k \end{array} \right)[/tex]

tu n'as qu'à remplacer ....


pour le reste je le verrai après


merci





Code LaTEX 
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Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 19h09
C'est clair maintenant !
Merci bcp pou votre aide .

amicalement
A+
Espace
Mohamed
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 19h22
Salut,

je veux juste ajouter que la similitude de deux matrices carrées est invariable par l'exponentielle:
Plus explicitement, si deux matrices [tex] M [/tex] et [tex]N[/tex] sont semblables, disons : [tex]M=PNP^{-1} [/tex] alors leur exponentielles sont semblables via la même matrice inversible P, c'est-à-dire que [tex]e^M=Pe^NP^{-1}.[/tex]
Cela provient de la définition générale de l'exponentielle d'une matrice (que je viens de voir avec ma classe de spé Mp1 il y'a juste une semaine).
Si [tex]||.||[/tex] est une norme matricielle dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb K}) [/tex] alors pour toute matrice [tex]M[/tex] la série [tex]\displaystyle \sum \frac{M^n}{n!}[/tex] est convergente car elle est absoluement convergente puisque : [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{||M||^n}{n!} =e^{||M||}[/tex] dans [tex]{\mathbb R}.[/tex]
Par définition, on a donc : [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{M^n}{n!} =e^{M} [/tex]
Comme les sommes partielles de cette s√©rie sont des polyn√īmes en [tex]M[/tex] on a le r√©sultat en vertu de ce qu'on a dit en haut √† propos de l'invariance de la similitude par les polyn√īmes et par passage √† la limite en vertu de la continuit√© de l'inverse dans [tex]GL_n({\mathbb K})[/tex] et du produit matriciel dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb K})[/tex]
Code LaTEX 
Espace
Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 23h43
Re-Salut !

Merci beaucoup cher Professeur Mohamed, c'est vraiment très bien expliqué.
Juste une petite remarque, quand vous avez pris M et N étant semblables et de l'égalité M=PN(P-1)
Cela veut dire que N est diagonale et que son exponentielle est égale à l'exponentielle de ses coefficients diagonaux n'est ce pas ?
Espace
 C√© Moi Lhassane
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 13/01/2012 à 23h54
BSR Dr Red1 !!

D'abord pour la question posée à Mohamed ....
Met N sont DEUX MATRICES CARREES de même ordre n QUELCONQUES mais semblables c'est à dire qu'il existe P matrice nxn INVERSIBLE telle que M=P.N.P^(-1)
Alors : exp(M)=P.exp(N).P^(-1)

Ensuite pour ton essai .... J'ai deviné que tu t'entrainais à réaliser des docs mathématiques !!
En ce qui me concerne , je faisais mes docs en maths à l'aide de Word ( de Microsoft Office ) avec MathsType puis je les imprimais en utilisant l'imprimante virtuelle d'Acrobat , ce qui fais que mes fichiers sont transformés en .pdf .
Par la suite j'ai changé et j'utilise désormais le logiciel Latex appelé LYX en coopération avec MikeTex . C'est d'un usage très facile et c'est gratuit .....


Amicalement . LHASSANE
Espace
Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 14/01/2012 à 03h54
Salut Mr Lhassane !

Oui j'ai compris cette notion de la similitude de deux matrice ( sans que nécessairement N soit diagonale ) .

Pour Mathématica et comme je suis un élève en 2éme année du cycle préparatoire à l'ENSA, on a un module contenant deux matières : 1) Algèbre , 2) Mathématiques assistées par ordinateur . On utilise le logiciel de Wolfram Mathematica 8 pour faire n'importe quoi en Maths !! c'est vraiment superbe , du coup je le profite aussi pour taper des exercices et les mettre ici !

Pour LATEX, je vais le demander de mes amis génie info si quelqu'un le possède !

Bon week-end chers professeurs et merci pour votre soutien !

Amicalement
A+
Espace
Mohamed
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 14/01/2012 à 18h20
Salut

Oui Dr Red1 , Mathematica comme Maple permettent de faire beaucoup de choses en mathématiques.

Pour [tex]\LaTeX[/tex], il est connu par les 'matheux' plus qu'il l'est par les 'informaticiens'. En effet, c'est un programme ***çu spécialement pour écrire le texte mathématiques ( bienentedu il sert à écrire tout les textes de façon excellente).
Si tu veux t'y mettre je te conceille plut√īt de chercher par la voie des gens qui l'utilsent car il se peut m√™me qu'un informaticien ne le connaisse pas (il n'est pas cens√© le conna√ģtre)

Si tu veux installer [tex]\LaTeX[/tex] sur ta machine et l'utliser intensément je te prpose d'aller dans la rubrique de ce forum reservée à ce sujet et de poser ta question ...

Finalement je veux bien répondre à ta question qui n'a pas encoré de réponse :

oui on a la formule:
[tex]\Large \exp (\text{diag} (\lambda_1,...., \lambda_n))= \text{diag} (e^{\lambda_1}, ... , e^{\lambda_n} )[/tex]

pour tous nombres complexes [tex]\lambda_1,...,\lambda_n[/tex]

Là encore, je dois t'exoliquer ce qu'est l'exponentielle d'un nombre complexe.
Si [tex]z \in {\mathbb C}[/tex] alors la série [tex]\sum \frac{z^n}{n!}[/tex] est convergente (elle est même absolument convergente et normalement convergente sur tout disque fermé).
Sa somme est appelée exponentielle du nombre complexe [tex]z[/tex].
Ainsi :
[tex]\Large (\forall z \in {\mathbb C}) \quad e^z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}[/tex]


Il est important de signaler qu'il s'agit d'un prollongement à [tex]\mathbb{C}[/tex] de l'exponentielle nepérienne connue sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et que pour démontrer ça on peut utiliser les formules de Taylor connues en analyse ...

On signal aussi que ce n'est qu'un cas particulier de l'exponetielle d'une matrice puisque on peut identifier [tex] \mathbb{C}[/tex] à [tex]{\mathcal M}_1( \mathbb{C})[/tex]

Finalement la notion d'exponetielle existe dans ce qu'on appelle les algébres de Banach qui généralisent celles des matrices ....

Pour ce qui est de [tex]p[/tex] introduit dans la division euclidienne dont j'ai parlé en haut c'est un entier naturel.
Le fait de mettre [tex]e[/tex] a la place n'a pas de signification pour moi ...(il faut que ton ami explique ce qu'il veut dire par là )
Code LaTEX 
Espace
Dr Red1
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Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 16/01/2012 à 15h25
Salut !
J’espère que vous allez bien Mr Mohamed.
Pour Latex, oui je veux l'installer sur mon laptop, je vais le demander plus tard dans le forum réservé à ça .

L'année dernière en premier semestre on a fait, en analyse I, le développement limité et on a pu écrire l'exponentielle de x( x appartient à IR ) sous la forme connue par tout le monde à l'aide de la formule de Taylor.
Dans le deuxième semestre on a fait, en analyse II, les séries entières : lim Segma[ (z^k/ k!),{k=0,k=n}] quand n tend vers l'infini égale l'exponentielle de z ... la série est normalement convergente ...

donc c'est comme vous avez dit, il s'agit d'un prolongement à IC de l'exponentielle connue sur IR.
Pour les algèbres en générale, y compris celles de Banach, on n'en a pas parlé . On nous a donné juste la définition d'une algèbre ...
Ils nous manquent un bagage très lourd pour bien comprendre ça mais on essaye quand même de chercher par ci et par là .

Pour l'entier naturel p, je suis s√Ľr qu'il l'a remplac√© par "e" ce qui m'a perturb√© car e n'appartient pas √† IN. Je lui poserai la question d√©s que je le rencontre .

A+
Amicalement
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 16/01/2012 à 16h01
Salam Red1
Je crois tout simplement que les algèbres de Banach ni figurent pas dans votre programme.
Sino la définition est simple puisque tu connais celle d'une lagébre.

Def 1
Soit [tex](\mathca{A},+,\times,. ,\||.\||)[/tex]
Une algébre normée. On dit que sa norme est sous-multiplicative si: [tex]\forall(a,b) \in {\mathcal A}^2 \quad ||a \times b || \leq ||a|| ||b||[/tex].

Def 2 : une algébre de Banach est une algébre normée compléte tel que sa norme est sous-multiplicative.
Code LaTEX 
Espace
Dr Red1
En Ligne 
Re : Exponentiel d'une matrice carr√©e 17/01/2012 à 01h04
Salam cher Professeur Mohamed .

Oui fort possible, on dit ici qu'on ne peut pas faire le même programme qu'en CPGE car ces derniers peuvent faire l’agrégation en maths mais nous on se contente de ce qu'il sera utile pour l'ingénieur .. c'est ce qu'on dit !

Pour la définition d'une algèbre de Banach, je crois qu'elle est bien claire sauf le mot " complète " , on a bien (A,+,.) un IK espace vectoriel et (A,+,x) un anneau avec la norme sous-multiplicative ||.|| .
Est ce le mot compl√®te signifie que l'anneau est int√®gre ? j'en suis pas s√Ľr, il se peut que je dise des b√™tises ...

A+
Amicalement
Redouane !
Espace
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