Bonjour tout le monde ,

Je travaillais sur un oral d'Ulm et je voulais avoir quelques remarques sur la deuxième partie de ma solution pour me rassurer.
Enoncé:
Soit A un anneau et (a,b)£ A².
On suppose qua 1-ab est inversible .
Montrer que 1-ba l'est aussi .

J'ai commencé par distinguer deux cas , si ab est nilpotent et le deuxième sinon .
1er cas : ab est nilpotent alors il existe un entier positif n tel que [tex](ab)^{n}=0[/tex]
Il est facile de voir que [tex]\Large \sum_{p=0}^{p=n-1}{(ab)^{p}}=\frac{1-(ab)^{n}}{1-ab}=\frac{1}{1-ab}=(1-ab)^{-1}[/tex]
Et on a ba est aussi nilpotent dans ce cas car [tex](ba)^{n+1}=b(ab)(ab)....(ab)a=b(ab)^{n}a=0[/tex] et donc (1-ba) est aussi inversible et [tex](1-ba)^{-1}=1+b[1+ab+(ab)^{2}+.....+(ab)^{n-1}]a=1+b(1-ab)^{-1}a[/tex]
2ème cas qui me pose problème :
Intuitivement et en s'aidant du résultat donné par le premier cas , je me suis dit d'essayer l'inverse trouvé auparavant et faire comme suit :
[tex](1-ba)(1+b(1-ab)^{-1}a)=1+b(1-ab)^{-1}a-ba-bab(1-ab)^{-1}a=1+b[(1-ab)^{-1}-1-ab(1-ab)^{-1}]a=1[/tex] d'où l'inversibilité de (1-ba) (sans oublier l'autre cas de [tex](1+b(1-ab)^{-1}a)(1-ba) [/tex])

Mes questions sont :
Est-ce juste d'abord ?
Si c'est le cas , serait-il suffisant de traiter seulement le deuxième cas sachant que le premier n'est qu'un cas particulier ?

Merci d'avance .

Personne ?

Bonjour Tarask,

C'est très bien.
Le cas où ab est nilpotent a simplement servi à trouver une formule pour l'inverse de 1-ba (en fonction de l'inverse de 1-ab), formule valable dans le cas général.
Pour démontrer le cas général on n'a pas besoin de traiter ce cas particulier.
On peut d'ailleurs faire autrement.
Notons c l'inverse de 1-ab.
Si 1-ba est inversible d'inverse d, on a d-bad=1 d'où (1-ab)ad=ad- abad=ad-a(d-1)=a et par suite ad=ca qui reporté dans d-bad=1 donne d=1+bca.
Il reste simplement à vérifier que (1-ba)(1+bca)=(1+bca)(1-ba)=1.

Bonjour M.jandri !

Merci pour la réponse , ça me rassure .

Sinon , pour ceux qui se demandent d'où l'idée de nilpotence m'est venue , je lisais l'autrefois sur cette notion dans wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Nilpotent et comme vous pouvez remarquer , dans le paragraphe Propriétés , la formule est semblable à celle que j'ai utlisée .


Merci encore une fois M.jandri .

l'ecriture (1-(ab)^n)/(1-ab) n'as aucun sens si A est un anneau quelconque je pense.