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Mohamed
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quelques exos classiques 22/11/2012 à 22h20
Salut,
Pour animer un peu cette rubrique , je partage quelques exercies classiques.

Dans tout ce qui suit [tex]{\mathbb K}[/tex] designe [tex]{\mathbb R}[/tex] ou [tex]{\mathbb C}[/tex] et [tex]n[/tex] un etier naturel non nul.
1) Soit [tex]A \in {\mathcal M}_n({\mathbb K})[/tex] de rang [tex]1.[/tex] Prouver que [tex]A^2=\text{tr}(A) A.[/tex] En déduire une condition necessaire et suffisante pour que [tex]A[/tex] soit diagonalisable et donner son spectre et les dimensions des sous-espaces propres.

2) Soient [tex]A,B \in {\mathcal M}_n({\mathbb R})[/tex] tel que [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont semblables dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb C}) .[/tex] Démontrer que [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont semblables dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb R}). [/tex]

3) Prouver que Le polynôme [tex]P=X^4+X^3+2X^2+X+1[/tex] ne peut être le polynôme minimal d'une matrice [tex]A \in {\mathcal M}_{2n+1}({\mathbb K}) .[/tex]

4) Soit [tex]A \in {\mathcal M}_n({\mathbb K}) [/tex] et [tex]M=\begin{pmatrix}A&A \\ A&A \end{pmatrix} [/tex]. Démontrer que [tex]A[/tex] est diagonalisable si et seulement si [tex]B[/tex] est diagonalisable.
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