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3,14
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un ex difficile en arithmétique 07/08/2012 à 13h08
soit x et y des entiers naturels tels que xy|x²+y²-x

montrer que x est un carré parfait.

j'attends vos idées ..:)
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Re : un ex difficile en arithmétique 09/08/2012 à 19h01
ou sont les experts ??

nous voulons discuter sur plusieurs solutions de cet exo..
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 09/08/2012 à 20h47
bonjour 3,14,

d'abord on va se mettre d'accord sur l'énoncé de cet exo , d'après ce que t'as écrit on comprend ceci

[tex] \forall (x,y) \in \mathbb{N}^{2} , xy / x^{2}+y^{2} -x \Rightarrow x [/tex] est un carré parfait

alors cet énoncé est faux car il suffit de prendre [tex] x=y [/tex] pour trouver une contradiction.

par contre si l'énoncé est :

[tex] \forall x \in \mathbb{N} , \exists y \in \mathbb{N} [/tex] tel que [tex] xy / (x^{2}+y^{2}) -x [/tex]
la oui c'est à discuter et la prmiere chose à la quelle je pense est de discuter une équation de second degré : [tex] y^{2} -(kx)y +(x^{2} - x) = 0 \Rightarrow \Delta = x [ (k^{2} - 4) x+4) ] [/tex] avec k est un entier et [tex] \Delta [/tex] doit etre un carre parfait car y est un entier


alors , merci d'abord de vérifier bien ton énoncé ? => Après on pourrait discuter

Cordialement



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Re : un ex difficile en arithmétique 09/08/2012 à 22h29
bonsoir,

d'abord l'énoncé est tiré du manuel de terminale sm algebre ex 150 p 129,et on trouve dans un autre forum marocain plus de deux solutions pour cet ex, sinon ou est la contradiction ?tu peux mieux expliquer ?
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 09/08/2012 à 23h44
Bonsoir 3,14 ,

oui, je reviens sur ce que j'ai dit , par je me suis pas vraiment penché sur l'analyse de l'exo , et maintenant que c'est fait , ton enoncé est ok.

et voic quelques pistes pour resoudre cet exo .

1 - on montre que [tex] \exists k [/tex] entier tel que : [tex] x ( ky-x+1) = y^{2} [/tex]
2 -Par la suite on montre que [tex] pgcd( x,ky-x+1) =1 [/tex]

on raisone par l'absurde : on suppose qu'il exite un d tel que [tex] pgcd( x,ky-x+1) =d [/tex]

[tex] x= u d [/tex] et [tex] ky-x+1 =vd [/tex]

alors on deduite que : [tex] ky - (u+v) d=1 \Rightarrow pgcd(y,d) = 1 [/tex]

d'autre part on a : [tex] uv d^{2} = y^{2}[/tex] alors [tex] d/ y [/tex] donc [tex] d=1 [/tex]

d'ou [tex] pgcd( x,ky-x+1) = 1 [/tex]

3 - puis on utilise le faite si : [tex] XY = Z^{2} [/tex] avec [tex] pgcd (X,Y) = 1 [/tex] alors [tex] X [/tex] et [tex] Y [/tex] sont des carrées parfaits.

CQFD

cordialment
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 10/08/2012 à 00h05
@3,14

je te propose une preuve au troisième point : [tex] XY = Z^{2} [/tex] avec [tex] pgcd (X,Y) = 1 [/tex] alors [tex] X [/tex] et [tex] Y [/tex] sont des carrées parfaits.


on pose [tex] pgcd (X ,Z) = d [/tex] alors [tex] \exists (\alpha ,\beta ) [/tex] tel que : [tex] X= \alpha d [/tex] et [tex] Z =\beta d [/tex] et [tex] pgcd (\alpha ,\beta) =1 [/tex]

alors : [tex] XY = Z^{2} \Rightarrow \alpha Y = \beta ^{2} d [/tex]


et comme [tex] pgcd( d, Y) =1 [/tex] car [tex] pgcd( X, Y )=1 [/tex] d'après th de Gauss on deduit que [tex] d / \alpha [/tex] alors [tex] \alpha=u d [/tex]

finalement on a montré que [tex] X = u d^{2} [/tex]

puis on reprend encore une fois l'equation du depart ;

[tex] XY = Z^{2} \Rightarrow u Y = \beta ^{2} [/tex]

et comme [tex] pgcd ( u, \beta )= 1 [/tex] car [tex] pgcd (\alpha , \beta ) = 1 [/tex] alors on déduit que [tex] u =1 [/tex]

finalement [tex] X = d^{2} [/tex] donc [tex] X [/tex] est un carré parfait

Cordialement

Resultat : on aura montré que x est un carré parfait tel que : [tex] x =d^{2} [/tex] avec [tex] d =pgcd( x,y) [/tex]
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Re : un ex difficile en arithmétique 10/08/2012 à 00h38
merci pour les deux solutions ....j'ai oublié de te remercier pour ton effort dans l'autre sujet , je t'assure que tu m'as beaucoup aidé :)
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ABB
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Re : un ex difficile en arithmétique 10/08/2012 à 13h10
Bonjour

Je crois que la question de l'exercice doit etre formuler de la facon suivante: Montrer que [tex]x=y^2[/tex]
Pour répondre à cette question il suffit de remarquer que: [tex]x/y^2[/tex] et [tex]y/x^2-x[/tex]
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Re : un ex difficile en arithmétique 10/08/2012 à 15h31
bonjour,

à ABB: Est ce que tu peux poster tout la solution pour voir ta méthode ?

merci
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 10/08/2012 à 23h42
bonsoir au forum,

@3,14

c'est vrai que l'idée de ABB est superbe , alors je te donne une methode pour demontrer ce qu'il a annoncé.

1 - on va montrer que [tex] x = y^{2} [/tex]

[tex] xy / (x^{2} +y^{2}) -x \Rightarrow \exists k \in \mathbb{Z} [/tex] tel que : [tex] x^{2} - (1+ky) x +y^{2} =0 [/tex]

on considère alors l'equation [tex] (E) : x^{2} - (1+ky) x +y^{2} =0 [/tex]

son delta est : [tex] \Delta = (1+ky)^{2} - 4y^{2} = (ky)^{2}+ 2( ky - 2y^{2})+1 [/tex]

et comme x est un entier alors pour que l'equation (E) ait une solution [tex] \Delta [/tex] doit etre un carré .

alors [tex] \Delta [/tex] doit etre de la forme : [tex] \Delta = (ky \pm A)^{2} \Rightarrow \large \left\{-kyA = ky - 2y^{2}\\ A = 1 \\right. \Rightarrow k =y [/tex]

donc finalment [tex] \Delta = (y^{2} -1 )^{2} \Rightarrow x = \frac{(1+y^{2}) + \sqrt{\Delta }}{2} =y^{2} [/tex]

CQFD.
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 11/08/2012 à 00h39
@ 3,14

une autre methode très simple pour montrer que : [tex] x =y^{2} [/tex]

on suppose que [tex] x\neq0 [/tex] le cas x =0 est toujours vrai)


[tex] xy / (x^{2}+y^{2})- x \Rightarrow (1) : x (ky - x) = y^{2} -x \Rightarrow x / y^{2}-x [/tex]

et comme [tex] x / x [/tex] alors [tex] x / y^{2} [/tex]

donc [tex] y^{2} = ax [/tex] avce a un entier non nul

on remplace dans l'equation (1) [tex] \Rightarrow a / a-1 \Rightarrow a / 1 \Rightarrow a = 1 [/tex]

finalement [tex] x = y^{2} [/tex]

cordialement
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Re : un ex difficile en arithmétique 11/08/2012 à 19h12
bravo !! j'ai fais presque la même démo de ton 4éme message , mais il y a une chose qui me dérange c'est pourquoi tu as trouvé dans ton deuxieme message que x=(pgcd(x,y))² et dans la quatrieme et cinquième message tu as trouvé que x= y² ?
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khawarizmi_maroc
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Re : un ex difficile en arithmétique 11/08/2012 à 19h32
@ 3,14,

ne t'inquiete pas, meme le deuxième message est vrai. car dans l'exo , il n'a pas été demandé de preciser que il faut prouver que : [tex] x = y^{2} [/tex] mais il faut juste prouver que x est un carré parfait.

dans la deuxième methode si on allait loin ou aurait prouvé que : [tex] pgcd(x,y) = y [/tex] alors
on aura encore une fois prouvé que [tex] x = y^{2} [/tex]

cordialement
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