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Axxx
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matrice A s'annule. 26/12/2011 à 01h40
bonsoir,


je viens de voir un beau petit exercice.


Enoncé :

soit [tex] A \in M_{n}(\mathbb{k})[/tex] telle que :

[tex] ( \forall X \in M_{n}(\mathbb{k}) ) ( XA ) ^2 = O [/tex]

montrer que [tex] A=O [/tex]


je veux une indication et merci d'avance.


Axxx;@+
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 jandri
Re : matrice A s'annule. 28/12/2011 à 10h45
Bonjour,

Une démonstration "matricielle":
Prendre pour X la matrice élémentaire [tex]E_{p,q}[/tex] de la base canonique.
On obtient [tex]a_{q,p}\Large \sum_{k=1}^{n}{a_{q,k}E_{p,k}}=0[/tex] d'où [tex]a_{q,p}=0[/tex].
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Mohamed
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Re : matrice A s'annule. 28/12/2011 à 22h04
Salut,


Merci jandri.
Tes visites régulières me font plaisir.
A bientôt et bonne année .
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 jandri
Re : matrice A s'annule. 31/12/2011 à 11h52
Bonjour Mohamed,

Bonne année à toi aussi.

Je propose une autre démonstration avec des endomorphismes.
On montre que si pour tout g on a [tex](gof)^2=0[/tex] alors [tex]f=0[/tex].

Supposons [tex]f\neq0[/tex]. Il existe deux vecteurs non nuls a et b tels que [tex]f(a)=b[/tex].
Soit alors g définie par [tex]g(b)=a[/tex] et g nulle sur un supplémentaire de la droite engendrée par b.
On a [tex]gof(a)=a[/tex] donc [tex](gof)^2(a)=a[/tex] ce qui contredit [tex](gof)^2=0[/tex].

La démonstration est même valable en dimension infinie.
On peut affaiblir l'hypothèse en supposant seulement [tex]gof[/tex] nilpotent pour tout g.
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