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sweet-mounir
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Petit Probl√©me !! 06/02/2012 à 17h34
Bonjour Aid moubarak à tous les profs et les amis(es) de Mathsland

voici l'exo

Soit E un ensemble fini de cardinal n
déterminer le nombre des triplets ( X,Y,Z ) appartienn à P(E) tq [tex]X \subset Y \subset Z[/tex]

Et mercii d'avance

Mounir
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elhor_abdelali
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Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 00h26
Bonjour ,

Je trouve [tex]\Large\fbox{Card\{(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3/X\subset Y\subset Z\}=4^n}[/tex] (sauf erreur bien entendu)
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Mohamed
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Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 01h01
Salut,

sweet-mounir: Tu ferais mieux de nous montrer comment tu avais analys√© le probl√®me et de pr√©ciser l√† o√Ļ appara√ģt ton petit probl√®me. On pourra de cette fa√ßon t'aider √† continuer.
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 C√© Moi Lhassane
Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 09h40
BJR au Forum .
Merci beaucoup Mounir et à Toi aussi .

C'est de la Combinatoire ....

On note m le Cardinal de Z
et
p le Cardinal de Y .

On travaille ainsi et on cherche à faire l'INVENTAIRE en fixant d'abord Y puis on finalise .
Je ne veux pas g√Ęcher le plaisir √† Mounir ...

Je crois qu'en définive , on obtiendra le nombre suivant :

SIGMA {m=0 à n , C(n;m).SIGMA{p=0 à m; 2^p.C(m;p)}

Le SIGMA √† l'int√©rieur vaut exactement (1+2)^m selon la Formule du Bin√īme de NEWTON ;
et toujours par le même argument , le résultat final est :

SiGMA {m=0 à n , C(n;m).SIGMA{p=0 à m; 2^p.C(m;p)}=SiGMA {m=0 à n , C(n;m).3^m}
(1+3)^n=4^n

et celà est CONFORME au résultat d'Abdelali .

Remarque : les inclusions de parties sont à prendre aus sens large .

Amicalement . LHASSANE

PS : Aid Moubarrak Said à Mohamed , Abdelali & Tout le Staff du Forum .



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sweet-mounir
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Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 17h31
Bonjouur à tous

Mercii Beaucoup pour l'aide

:D
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Mohamed
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Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 17h35
Salam

Merci Mounir, Abdel Ali et Lhassane
A toi aussi Lhassane , Aid Mobarak et je te souhaite une excellente santé tout en te remerciant pour tes contributions abandantes au forum.
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 jandri
Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 21h41
C'est un problème de combinatoire classique.

Un tel triplet (X,Y,Z) est caractérisé par une application f de E dans l'ensemble {1,2,3,4} en posant par exemple f(x)=1 si x est dans X, f(x)=2 si x est dans Y et pas dans X, f(x)=3 si x est dans Z et pas dans Y, f(x)=4 si x n'est pas dans Z.

Le nombre d'applications de E dans {1,2,3,4} est bien [tex]4^n[/tex]
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elhor_abdelali
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Re : Petit Probl√©me !! 07/02/2012 à 23h32
3wacher mabrouka Mohamed , Lhassane et Mounir !

Bien vu jandri !

j'avais remarqué que les ensembles [tex]\Large C=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\subset Y\subset Z\;\}[/tex]

et [tex]\Large D=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\cap Y=Y\cap Z=Z\cap X=\empty\;\}[/tex] sont équipotents

par le biais de la bijection [tex]\Large(X,Y,Z)\mapsto(X,Y-X,Z-Y)[/tex]

et par conséquent [tex]\Large\fbox{card(C)=card(D)=\sum_{i+j+k\le n}C_n^iC_{n-i}^jC_{n-i-j}^k=4^n}[/tex]
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