sweet-mounir
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Petit Probléme !! |
06/02/2012 à 17h34 |
Bonjour Aid moubarak à tous les profs et les amis(es) de Mathsland
voici l'exo
Soit E un ensemble fini de cardinal n
déterminer le nombre des triplets ( X,Y,Z ) appartienn à P(E) tq [tex]X \subset Y \subset Z[/tex]
Et mercii d'avance
Mounir |
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elhor_abdelali
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 00h26 |
Bonjour ,
Je trouve [tex]\Large\fbox{Card\{(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3/X\subset Y\subset Z\}=4^n}[/tex] (sauf erreur bien entendu) |
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Mohamed
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 01h01 |
Salut,
sweet-mounir: Tu ferais mieux de nous montrer comment tu avais analysé le problème et de préciser là où apparaît ton petit problème. On pourra de cette façon t'aider à continuer. |
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 09h40 |
BJR au Forum .
Merci beaucoup Mounir et à Toi aussi .
C'est de la Combinatoire ....
On note m le Cardinal de Z
et
p le Cardinal de Y .
On travaille ainsi et on cherche à faire l'INVENTAIRE en fixant d'abord Y puis on finalise .
Je ne veux pas gâcher le plaisir à Mounir ...
Je crois qu'en définive , on obtiendra le nombre suivant :
SIGMA {m=0 Ã n , C(n;m).SIGMA{p=0 Ã m; 2^p.C(m;p)}
Le SIGMA à l'intérieur vaut exactement (1+2)^m selon la Formule du Binôme de NEWTON ;
et toujours par le même argument , le résultat final est :
SiGMA {m=0 Ã n , C(n;m).SIGMA{p=0 Ã m; 2^p.C(m;p)}=SiGMA {m=0 Ã n , C(n;m).3^m}
(1+3)^n=4^n
et celà est CONFORME au résultat d'Abdelali .
Remarque : les inclusions de parties sont à prendre aus sens large .
Amicalement . LHASSANE
PS : Aid Moubarrak Said à Mohamed , Abdelali & Tout le Staff du Forum .
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sweet-mounir
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 17h31 |
Bonjouur à tous
Mercii Beaucoup pour l'aide
:D |
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Mohamed
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 17h35 |
Salam
Merci Mounir, Abdel Ali et Lhassane
A toi aussi Lhassane , Aid Mobarak et je te souhaite une excellente santé tout en te remerciant pour tes contributions abandantes au forum. |
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 21h41 |
C'est un problème de combinatoire classique.
Un tel triplet (X,Y,Z) est caractérisé par une application f de E dans l'ensemble {1,2,3,4} en posant par exemple f(x)=1 si x est dans X, f(x)=2 si x est dans Y et pas dans X, f(x)=3 si x est dans Z et pas dans Y, f(x)=4 si x n'est pas dans Z.
Le nombre d'applications de E dans {1,2,3,4} est bien [tex]4^n[/tex] |
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elhor_abdelali
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Re : Petit Probléme !! |
07/02/2012 à 23h32 |
3wacher mabrouka Mohamed , Lhassane et Mounir !
Bien vu jandri !
j'avais remarqué que les ensembles [tex]\Large C=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\subset Y\subset Z\;\}[/tex]
et [tex]\Large D=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\cap Y=Y\cap Z=Z\cap X=\empty\;\}[/tex] sont équipotents
par le biais de la bijection [tex]\Large(X,Y,Z)\mapsto(X,Y-X,Z-Y)[/tex]
et par conséquent [tex]\Large\fbox{card(C)=card(D)=\sum_{i+j+k\le n}C_n^iC_{n-i}^jC_{n-i-j}^k=4^n}[/tex] |
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