Bonjour Aid moubarak à tous les profs et les amis(es) de Mathsland

voici l'exo

Soit E un ensemble fini de cardinal n
déterminer le nombre des triplets ( X,Y,Z ) appartienn à P(E) tq [tex]X \subset Y \subset Z[/tex]

Et mercii d'avance

Mounir

Bonjour ,

Je trouve [tex]\Large\fbox{Card\{(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3/X\subset Y\subset Z\}=4^n}[/tex] (sauf erreur bien entendu)

Salut,

sweet-mounir: Tu ferais mieux de nous montrer comment tu avais analysé le problème et de préciser là où apparaît ton petit problème. On pourra de cette façon t'aider à continuer.

BJR au Forum .
Merci beaucoup Mounir et à Toi aussi .

C'est de la Combinatoire ....

On note m le Cardinal de Z
et
p le Cardinal de Y .

On travaille ainsi et on cherche à faire l'INVENTAIRE en fixant d'abord Y puis on finalise .
Je ne veux pas gâcher le plaisir à Mounir ...

Je crois qu'en définive , on obtiendra le nombre suivant :

SIGMA {m=0 à n , C(n;m).SIGMA{p=0 à m; 2^p.C(m;p)}

Le SIGMA à l'intérieur vaut exactement (1+2)^m selon la Formule du Binôme de NEWTON ;
et toujours par le même argument , le résultat final est :

SiGMA {m=0 à n , C(n;m).SIGMA{p=0 à m; 2^p.C(m;p)}=SiGMA {m=0 à n , C(n;m).3^m}
(1+3)^n=4^n

et celà est CONFORME au résultat d'Abdelali .

Remarque : les inclusions de parties sont à prendre aus sens large .

Amicalement . LHASSANE

PS : Aid Moubarrak Said à Mohamed , Abdelali & Tout le Staff du Forum .

Bonjouur à tous

Mercii Beaucoup pour l'aide

:D

Salam

Merci Mounir, Abdel Ali et Lhassane
A toi aussi Lhassane , Aid Mobarak et je te souhaite une excellente santé tout en te remerciant pour tes contributions abandantes au forum.

C'est un problème de combinatoire classique.

Un tel triplet (X,Y,Z) est caractérisé par une application f de E dans l'ensemble {1,2,3,4} en posant par exemple f(x)=1 si x est dans X, f(x)=2 si x est dans Y et pas dans X, f(x)=3 si x est dans Z et pas dans Y, f(x)=4 si x n'est pas dans Z.

Le nombre d'applications de E dans {1,2,3,4} est bien [tex]4^n[/tex]

3wacher mabrouka Mohamed , Lhassane et Mounir !

Bien vu jandri !

j'avais remarqué que les ensembles [tex]\Large C=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\subset Y\subset Z\;\}[/tex]

et [tex]\Large D=\{\;(X,Y,Z)\in\mathcal{P}(E)^3\;/\;X\cap Y=Y\cap Z=Z\cap X=\empty\;\}[/tex] sont équipotents

par le biais de la bijection [tex]\Large(X,Y,Z)\mapsto(X,Y-X,Z-Y)[/tex]

et par conséquent [tex]\Large\fbox{card(C)=card(D)=\sum_{i+j+k\le n}C_n^iC_{n-i}^jC_{n-i-j}^k=4^n}[/tex]