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Othmaaan
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Trigonalisation 09/04/2012 à 15h01
Bonjour,
J'ai cherché mais j'ai pas trouvé d'algorithme de trigonalisation assez simple et pratique au moins pour une matrice 3x3 ...
Merci d'avance!
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Lotus_Bleu
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Re : Trigonalisation 09/04/2012 à 22h52
BSR au Forum .
BSR Othmaaan !!

Qu'est ce que tu entends par "algorithme de trigonalisation " d'abord ???
Pour Moi , algorithme est intimement lié à l'Analyse Numérique .

En attendant tes précisions ....

Amicalement . LHASSANE
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Mohamed
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Re : Trigonalisation 10/04/2012 à 00h22
Salut,
ça se comprends! Il veut probablement une "méthode" claire pour la trigonalisation d'une matrice de taille 3 voire (pourquoi pas de taille 4) ...
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Othmaaan
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Re : Trigonalisation 10/04/2012 à 01h21
Exactement, jusqu'à présent je trouve des justification théorique mais une fois que je passe à la pratique je bloque ...
on peut prendre par exemple une matrice au hasard et la trigonaliser dans C si vous voulez.
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Mohamed
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Re : Trigonalisation 10/04/2012 à 20h45
Salut Othmaaan :
Prendre une matrice au hasard n'est pas la bonne façon car la probabilité de tomber
sur une matrice ayant une unique valeur propre et dont le sous-espace propre associé
est une droite vectorielle est plus petite que la probabilité de toutes les autres à savoir :
- matrice diagonalisable
- matrice trigonalisbale à deux valeurs propres distinctes dont les sous-espace propres sont des droites vectorielles (un de ces vp a manifestement 2 comme ordre de multiplicité) (essaye : [tex]M=\left(\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\2&1&-2\\3&-1&-2\end{array}\right)[/tex] )
-matrice trigonalisable avec un unique valeur propre dont le sou-espace propre associé est un plan vectoriel

Conclusion : il faut plus de soin pour trouver l'exemple convenable.
Si tu n'as pas d'exemple essaye : [tex]A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\-1&1&1\\-1&1&2\end{array} \right)[/tex]
J'aimerai aussi que tu cites les idées théoriques que tu possédes à propos de cette question et on va t'aider à compiler de telles idées dans la pratique.
Code LaTEX 
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Othmaaan
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Re : Trigonalisation 11/04/2012 à 00h49
En théorie je pense qu'il serait plus simple de raisonner en terme d'endomorphisme.
A partir du polynôme caractéristique (scindé) on peut retrouver les valeurs propres (les racines).
On parle d'un endomorphisme trigonalisable mais non diagonalisable donc la multiplicité de la valeur propre est différente de la dimension du sous-espace propre associé (on a même une inégalité).
Aussi un lemme qui peut être utile c'est que pour un endomorphisme nilpotent il existe un vecteur [tex]x[/tex] non nul tq [tex](x,u(x),...,u^{p-1}(x))[/tex] est libre.
En théorie, j'ai déjà vu aussi les sous-espaces caractéristiques avec ce qui s'en suit: décomposition de Dunford et réduction de Jordan.


Pour la matrice proposée [tex]A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\-1&1&1\\-1&1&2\end{array} \right)[/tex]
je trouve le polynôme caractéristique : [tex]\chi_A=(1-X)^3[/tex]
c'est à dire [tex]1[/tex] est une valeur propre de multiplicité 3.
En posant [tex]B=A-I_3[/tex], on a bien [tex]B[/tex] nilpotente d'ordre au plus 3 (Cayley-Hamilton).
On devrait trouvé [tex]X[/tex] tq [tex](X,BX,B^2X)[/tex] ou [tex](X,BX)[/tex] est libre. On exclue 1 car la matrice n'est pas l'identité.
On peut commencer par écrire [tex]B=\left(\begin{array}{ccc}-1&1&1\\-1&0&1\\-1&1&1\end{array} \right)[/tex], on voit que [tex]B[/tex] est de rang [tex]2[/tex] càd la dimension du sous espace propre associé à la valeur propre [tex]1[/tex] est [tex]1[/tex]
On trouve que [tex]\left(\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array} \right)[/tex] est un vecteur propre en résolvant le système [tex]AX=X[/tex].
Donc [tex]E_1(A)=\mathbb{R}.\left(\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array} \right)[/tex]

C'est là mon problème, il faut maintenant déterminer les coefficients qui sont au dessus de la diagonale et la matrice de passage.

On peut calculer [tex]B^2=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\-1&0&1\end{array} \right)[/tex]
on voit cette fois que [tex]B^2[/tex] est de rang 1 càd [tex]\dim Ker(A-I_3)^2=2[/tex]

C'est le plus loin où j'arrive, Si on pouvait m'aider à finir la trigonalisation de cette matrice. Merci d'avance!
Et pourquoi pas faire un exemple ou on a 2 valeurs propres distinctes.

Il serait aussi intéressant de donner sa décomposition de Dunford.
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
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Re : Trigonalisation 11/04/2012 à 23h06
Salut,
Le cas de deux valeur propres est simple en dimension trois car les deux valeurs prpres étants distinctes si on prends des vecteurs prpres associés ils forment une famille libre. Complétée n'importe comment , on a une base de trigonalisation.
Même chose si on a un unique valeur propre tel que le sous-espace propre associé est de deimension 2
Espace
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