Logo-de-mathsland.com
 Clocks
un d√©fi (ensembles et applications) 03/11/2011 à 11h57
soit f:P(E)-------> IR+
montrer que

[tex] f(X)+f(Y)+f(\overline{X \cup Y})=2f(X\cap Y)+f(\overline{X \cap Y}) [/tex]
Code LaTEX 
Espace
 C√© Moi Lhassane
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 04/11/2011 à 22h55
BSR ....

On suppose bien s√Ľr que f est ADDITIVE dans le sens suivant :
Si X et Y sont deux parties de E , disjointes alors f(X union Y)=f(X)+f(Y)

L'idée c'est d'évaluer f(E) sous deux écritures différentes en utilisant DEUX PARTITIONS
distinctes de E .
Soient donc X et Y deux éléments quelconques de P(E) .
A* désigne le complémentaire de A , partie de E , par rapport à E .

1ère PARTITION de E : {X\Y} , {Y\X} , {X inter Y} et {X union Y}*
qui donne
f(E)=f(X\Y)+f(Y\X)+f(X inter Y)+f({X union Y}*)

On sait que X={X\Y} union {X inter Y} et que Y={Y\X} union {X inter Y}
Comme il s'agit de partions alors :
f(X\Y)=f(X)-f({X inter Y}) et f(Y\X)=f(Y)-f({X inter Y})
En conclusion ( en remplaçant ) :

f(E)=f(X)+f(Y)-f(X inter Y)+f({X union Y}*)

2ème PARTITION de E : {X inter Y} ; {X inter Y}*
qui donne
f(E)=f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

AU FINAL :

f(E)=f(X)+f(Y)-f(X inter Y)+f({X union Y}*)=f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

d'ou

f(X)+f(Y) + f({X union Y}*) = 2.f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

Amicalement .
Espace
 Clocks
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 05/11/2011 à 12h29
chapeau Mr.LHASSANE :) ...tbarklah 3lik ze3ma !

effectivement l'idée consiste sur l'évaluation de f(E) sous deux écritures différentes, mais pour moi pour construire ce probléme , je suis parti du fait que Si X et Y sont deux parties de E , disjointes alors f(X union Y)=f(X)+f(Y)

on a (X union Y) inter((X union Y)*)={} ==>f( (X union Y) union((X union Y)*))=f(X union Y)+f((X union y)*)
==>f(E)=f(X union Y)+f((X union y)*)

et (X inter Y) inter((X inter Y)*)={} ==> f((X inter Y) union((X inter Y)*))=f(X inter Y)+f((X inter Y)*)
==> f(E)=f(X inter Y)+f((X inter Y)*)

d'ou f(X inter Y)+f((X inter Y)*) =f(X union Y)+f((X union y)*)

et en utilisant ce résultat ( c'est ainsi pour ajouter la touche finale du chef ) que Mr.HOUSSA et Mr.LHASSSANE ont démonter (ici :http://mathsmaroc.jeun.fr/t18671-applications-ensembles-urgent) : f( X Union Y) = f(X)+ f(Y) - f(X inter Y)

on arrive à ce chocolat :) : f(X)+f(Y) + f({X union Y}*) = 2.f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

Aid Moubarrak Said .
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 05/11/2011 à 20h18
Salut,

Clocks : lorsque tu as posé ta question tu n'as pas précisé que [tex]f[/tex] était additive!
Si Lhasane n'avait pas déviné ta vraie question , elle serait incompléte
Et je dis bravo à Lhassane non pas pour sa réponse mais pour avoir ajouté l'hypothèse
manquante ( c'est plus dure de compléter une question incompléte que d'en résoudre une !!!)

Sinon si on fait l'hypothèse additive et si de plus on a [tex]f(E) > 0[/tex] alors en posant : [tex]p(X)= \frac{f(X)}{f(E)}[/tex] pour toute partie [tex]X[/tex] de [tex]E[/tex], on a : [tex]p[/tex] est une probabilité sur l'espace mesurable [tex](E, {\mathcal P}(E))[/tex] et ta question se ramène à celle sur une probabilité ...
Code LaTEX 
Espace
 C√© Moi Lhassane
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 05/11/2011 à 23h09
BSR ....

Merci beaucoup Mohamed !!
C'est vrai que le Déboggage d'un exo est parfois difficile lorsque quelquechose manque ou est de trop ( celà arrive .... ) .
Merci aussi d'avoir fait le lien avec les Probas !!
Je terminerais en donnant un exemple bien connu des BACSM :

E ensemble de cardinal fini .
f : P(E) --------> IR+ définie par f(A) = Card (A) pour tout A , partie de E

Aid Moubarrak Said à Vous et à l'ensemble des Forumistes .
Amicalement . LHASSANE
Espace
 Clocks
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 06/11/2011 à 00h00
Mais Mr.Mohamed le défi était un probléme de recherche et l'hypothése donné par Mr.Lhassane est vérifié pour qlq soit le fonction de P(E) à valeurs dans IR+, et si tu demandes pourquoi j'ai pas ajouté que f est additive :c'est exprès pour augmenter le niveau de difficulté.
Aid Moubarak Said à toi et famille
Espace
 jandri
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 06/11/2011 à 15h45
Bonjour,

C'est un exercice intéressant mais l'égalité [tex]f(X)+f(Y)+f(\overline{X \cup Y})=2f(X\cap Y)+f(\overline{X \cap Y})[/tex] (1) n'est pas vérifiée par toutes les fonctions f.
Il s'agit en fait d'une équation fonctionnelle: quelles sont les fonctions f de P(E) dans [tex]\mathbb{R}[/tex] vérifiant (1).

La condition (1) entraine pour [tex]Y=0[/tex] (ensemble vide) que [tex]f(X)+f(\overline{X})=f(0)+f(E)[/tex] (2).
On en déduit [tex]f(X)+f(Y)=f(X\cap Y)+f(X \cup Y)[/tex] (3).
Réciproquement, (3) entraine (2) et par suite entraine (1).

Si f vérifie (3) alors g définie par [tex]g(X)=f(X)-f(0)[/tex] vérifie aussi (3) et est alors additive:
[tex]X \cap Y=0\Rightarrow g(X\cup Y)=g(X)+g(Y)[/tex] (4).

Réciproquement, si g est additive alors [tex]g(X\cap Y)=g(X)-g(X-X\cap Y)[/tex] et [tex]g(X\cup Y)=g(X-X\cap Y)+g(Y)[/tex], donc [tex]g(X\cap Y)+g(X\cup Y)=g(X)-g(X-X\cap Y)+g(X-X\cap Y)+g(Y)=g(X)+g(Y)[/tex] et par suite .

Les fonctions qui vérifient [tex]f(X)=g(X)+C[/tex] vérifie (3) et donc (1).

Les solutions de (1) sont donc les fonctions [tex]f(X)=g(X)+C[/tex] avec g additive.
Code LaTEX 
Espace
 C√© Moi Lhassane
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 06/11/2011 à 19h38
BSR au Forum !!

@ Clocks .

Je pense que Tu n'as pas compris la pensée de Mr Mohamed .
En omettant de préciser que f est ADDITIVE .... Tu auras posé tout simplement un ENONCE faux
parce que quelqu'un pourrait facilement construire un CONTRE-EXEMPLE pour te le prouver .

Il aurait dire :
<< Quelle ( quelles ) hypothèse ( hypothèses ) ajouter à une application f de P(E) dans IR+ pour
avoir l'identité suivante :

[tex] f(X)+f(Y)+f(\overline{X \cup Y})=2f(X\cap Y)+f(\overline{X \cap Y}) [/tex]
Pour tout X et Y parties de E ??

AUTRE CHOSE : une application f de P(E) dans IR+ n'est pas forcément ADDITIVE . En voici un exemple :
On prend E=[0;20] et f définie par f(A)= Sup A ( Borne Supérieure dans IR de la partie A de E ) .
Rajoutons f(VIDE)=0 pour compléter la définition de f ....
X=[0,5] et Y=]5,8]
On a {X inter Y}=VIDE mais f({X union Y})=f([0;8])=8 , f(X)=5 et f(Y)=8 ; 8<>(5+8)

l'identité que tu as proposée ( à titre de Défi ) donnerait :
5 + 8 + 20 =2.1 + 20 soit 33=23 donc ERREUR !!!


@ Mr jandri .

Merci pour Votre Belle Contribution . C'est un nouvele éclairage de la question vu
sous l'angle Equa-Fonctionnelle , ce que Je n'avais pas du tout entrevu , étant habitué à autre
chose !!

Aid Moubarrak Said .

Amicalement . LHASSANE
Code LaTEX 
Espace
 Clocks
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 07/11/2011 à 01h13
donc il fallait ajouter à l'énoncé la condition <<[tex]f(X)=g(X)+C[/tex] avec g additive >> ou bien << qlq soit (x,y) appartient à P(E)² )( X n Y =l'ensemble vide implique que f(X U Y) = f(X) +f(Y)>>

Mes excuses à Mr.Mohamed et à tous qui ont casser la tête avec l'énoncé, étant lu rapidement l'énoncé ici(http://mathsmaroc.jeun.fr/t18671-applications-ensembles-urgent) j'ai compris que pour toutes fonctions de P(E) à IR+ vérifie que qlq soit (x,y) appartient à P(E)² )( X n Y =l'ensemble vide implique que f(X U Y) = f(X) +f(Y) ), par contre c'était une condition nécessaire pour compléter l'énoncé

AID MOUBARAk SAID à tous
Code LaTEX 
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : un d√©fi (ensembles et applications) 13/11/2011 à 23h54
Salut,

Merci pour toutes les contributions..


à Clocks: Rassure toi, car à première vue, on detecte que ce n'est pas vrai, sans se casser la tête. Les contre-exemples sont abondants..

Jandri à donné la bonne question (tout en y répondant) :

Quelles son les applications
[tex]f : {\mathcal P}(E) \to {\mathbb R}_+[/tex]
verifiant :
[tex](\forall (X,Y) \in {\mathcal P}(E)^2 ) \quad f(X)+f(Y)+f(\overline{X \cup Y})=2f(X\cap Y)+f(\overline{X \cap Y}) [/tex]



NB : voici un contre-exemple :
[tex]E=\{1,2\}[/tex], [tex]f(\{1\})=f(\{2\})=1,f(\emptyset)=f(E)=0[/tex]
Prendre : [tex]X=\{1\}, Y=\{2\}[/tex].
Code LaTEX 
Espace
Sujet verrouilť par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum