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YassineMP
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PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 13h53
Bonjour ,

Comme vous savez l'année prochaine pas mal d'élèves seront en spé (MP/PC/PT/PSI..Etoilées ou pas )
Moi en fait personnellement quand j'étais en SUP j'avais rencontré des difficultés pour dénicher de bons exercices permettant d'illustrer et d'approfondir les différentes notions du programme pour se préparer efficacement aux DIvers concours( CNC, Mines , Centrale, X , ENS)
En outre je me doutais bien que quelques légers dépassements du Programme permettaient de mieux voir le coeur des questions abordées tout en apportant de précieux renseignements .mais je ne savais pas dans quelles directions il fallait chercxher ?!


1er Question :
Les sous groupe de[tex] ({\mathbb Z},+)[/tex] sont de la forme [tex]n {\mathbb Z}[/tex] avec [tex]n \in {\mathbb N}[/tex]
Comment démontrer ?
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Othmaaan
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 14h32
Bonjour,
soit [tex]n\in \mathbb{Z}[/tex] , On a bien [tex]0 \in n\mathbb{Z}[/tex] et [tex]na-nb=n(a-b) \in n\mathbb{Z}[/tex].
Donc [tex]n\mathbb{Z}[/tex] est bien un sous groupe additif de [tex]\mathbb{Z}[/tex]

Maintenant soit [tex]G[/tex] un sous-groupe additif de [tex]\mathbb{Z}[/tex] différent de [tex]\{0\}[/tex].
On pose [tex]G^+=G\cap \mathbb{N^{\ast}}[/tex] on a alors[tex]G^+ \subset \mathbb{N^{\ast}}[/tex] alors [tex]G^+[/tex] admet un plus petit élément différent de 0. on note [tex]m=minG^+[/tex].
Soit [tex]a\in G^+[/tex] alors [tex](\exists ! q,r\in \mathbb{N})a=mq+r[/tex] tel que [tex]0\leq r< m[/tex].
or m est le plus petit élément différent de 0 donc [tex]r=0[/tex].
ce qui montre que [tex]m \| a[/tex] et donc [tex]G^+ \subset m\mathbb{N}[/tex]
Et par opposé , on a [tex]G \subset m\mathbb{Z}[/tex]

Il est assez simple de montrer que [tex]m\mathbb{Z} \subset G[/tex]. Ce qui finit la preuve.

Je propose de montrer que les sous groupes additifs de [tex]\mathbb{R}[/tex] sont soit dense dans [tex]\mathbb{R}[/tex] soit discret.
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 14h45
Salut,
bien,
juste une petite précision : (il fallait mettre le point sur le fait que [tex]G^+ \neq \emptyset[/tex])
[tex]G^+ \neq \emptyset[/tex] car , comme [tex]G \neq \{0\}[/tex], alors [tex]\exists p \in {\mathbb Z}^* \quad p \in G[/tex], il en résulte que [tex]|p| \in G^+[/tex] car [tex]|p|=mp[/tex] avec [tex]m=\pm 1 \in {\mathbb Z}[/tex]


Justement, la dérnière question (sous-groupes du groupe additif des nombres réels) nous pousse à poser la question suivante:
Soit G un groupe et G' un sou-groupe de G.
Peut on connaître les sous-groupes de G' en fonction des sous-groupes de G ?

(NB: il y'a un abus de notation (lois), mais c'est habituel ...)
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Othmaaan
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 15h25
Bonjour ,
merci pour la précision , c'est un oubli.
Sinon pour la question , j'ai pas très bien saisi il me semble que les sous groupes de G' sont aussi des sous groupe de G. Peut-on aller plus loin ?
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 15h45
Salut, Comment on les obtient?

Peut on par exemple dire :

Les sou-groupes de [tex]G'[/tex] sont exactement les sous-groupes de la forme [tex]G' \cap H[/tex] oĂą [tex]H[/tex] est un sous-groupe arbitraire de [tex]G[/tex] ?

Si c'est le cas : utiliser ça pour répondre à la question de YassineMP en utilisant le résultat donnant les sou-groupes additifs de [tex]\mathbb{R}[/tex] ..
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Othmaaan
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 16h48
re bonjour,
Ce n'est pas plutĂ´t << les sous groupe de [tex]G'[/tex] sont exactement les sous-groupes de la forme ... >>
Et [tex]H[/tex] est-il arbitraire ou parcourt tous les sous-groupes de [tex]G[/tex] ?!

Sinon , un sous groupe de [tex]G'[/tex] est aussi un sous groupe de [tex]G[/tex]. De plus , si un sous groupe de [tex]G[/tex] est inclus dans [tex]G'[/tex] c'est aussi un sous-groupe de [tex]G'[/tex] (par définition c'est un groupe et inclus dans [tex]G'[/tex] donc ...). C'est suffisant pour justifier ce procédé ?

Merci en tout cas , c'est très intéressant.
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 17h27
Salut,
Oui Othmaaan, c'est G ' (c'est clair) j'ai du oublier de tapper le ' mais je viens de corriger ça.


Normalement,il faut fair deux sens :
Tu prouves que si H ' est un s gpe de G' alors il s'écrit H'=G' inter H avec H un s gpe de G et réciproquement si H est un s gpe de G alors H'= G' inter H est un s gpe de G' ( c'est ce que tu as fait )


Essaye maintenant de démontrer à l'aide de ça et la nature de s gpe de R que les s gpes de Z snt les nZ



(j'ai écrit en hâte car je ne suis pas reposé ... )

(PS : je t'ai écrit un message privé va le voi)
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YASSINEMP
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 21h50
OUI mais vous avez oublié de prouvé le problème réciproque .. Sinon c"est ca !
LES sousgroupes additifs de IR Sont soit discrets soit dense _Résultat vu en mpsi mais pas démontré
mais le raisonnement est assez facile a voir :
on donc je vais commencer depuis le début.
Onveut montrer que si G est un sous groupe non réduit à 0 de alors G est dense ou .

Pour cela on va donc considérer l'ensemble H=G Inter IR*+, comme disais OTHMAN dans le post précédent c'est un ensemble de IR non vide il admet une borne inférieure.

La il faut distinguer 2 cas, soit la borne inférieure est nulle soit elle ne l'est pas.

Dans le premier cas, 0 n'appartenant pas à H, 0 est un élément de l'adhérence de H.
Autrement dit \forall\epsilon>0 \existsx\in H TEL QUE |x-0|<\epsilon ce qui revient Ă  ce que x<\epsilon
Montrons que G est alors dense dans \mathbb{R}
En effet prenons un élément de IR a>0. Montrons que \forall\epsilon>0 \exists y\in G TEL QUE |a-y|<\epsilon
pour cela effectuons la division euclidienne de a par x, il existe q dans N et 0<r<x tel que
a=qx+r
On obtient donc |a-qx|=r<\epsilon de plus qx\in G car G possède une structure de groupe.
Pour conclure quand à la densité de G il suffit de montrer que si a<0 alors il existe aussi y approchant a à près.


Or si a<0 on a -a>0 donc il existe y\inG tel que 0<-a-y< epsilon Ainsi |a+y|<epsilon et -y \in G d'ou le résultat escompté.

Ainsi notre sous groupe est bien dense dans IR

Deuxième cas la borne inférieure est non nulle alors elle est atteinte.
En effet si x est cette borne inférieure, supposons qu'elle n'est pas atteinte, \exists (y1;y2)\in G TEL AUE |y1-y2|<x ce qui contredit l'hypothèse de minimalité de x

Ainsi soit x la borne inf de H, et x\inG
Montrons que G=xZ
Il est Ă©vident de par sa structure de groupe que xZ EST INCLUS DANS G
Supposons qu'il existe y dans G qui n'appartienne pas Ă  xZ
Alors quitte à considérer -y on peut supposer que y>0.
Effectuons la division euclidienne de y par x.
on a y=qx+r avec 0<r<x
Cependant puisque G est un groupe y-qx est dans G, il est positif donc au final r=y-qx est dans H.
Cependant r<x, c'est absurde puisque x minimalise H
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 20/07/2011 à 22h24
Salut,

YASSINEMP dit : "OUI mais vous avez oublié de prouvé le problème réciproque .. Sinon c"est ca !"
Si c'est à moi que tu t'adresses ( à propos de mon dernier message , lis bien : j'ai parlé de la réciproque.

Sinon précise à qui tu t'adresses et à propos de quoi?

J'ai remarqué que tu met une balsie au début et une à la fin de ton message :Ne met pas le texte entre les balises tex

Tu metteras uniqument les symboles mathématiques

exemple : si [tex ] \forall x\in G \quad x=e [ /tex] alors [ tex]G=\{e\}[ /tex]

tu vois que le texte est libre et que les balsent encadrent ce qui est symboles mathématiques ...

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yassinemp
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 26/07/2011 à 17h22
MERCI
2eme question :
J'avais commencé à lire les lecons de MP !
je veux svp des Ă©xplications bien concises :
Q se construit comme l'ensemble quotient de ZĂ—Z&#8727; pour la relation (a,b)R(c,d)&#8660;ad=bc.
On note Z/nZ l'ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n
j'avais pas compris logiquement et linguistiquement ;le sens de ces phrases !
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 26/07/2011 à 19h51
Salut,

En général si on a un anneau commutatif intègre [tex]A[/tex], on construit le corps des fractions de [tex]A[/tex] , à savoir [tex]K=A^2/{\mathscr R}[/tex], où [tex]\mathscr R[/tex] est la relation d'équivalecedéfinie sur [tex]A^2[/tex] par : [tex](a,b), (a',b') \in A^2 [/tex] , [tex] (a,b) {\mathscr R} (a',b') \Leftrightarrow ab'=ba'[/tex]

As tu pensé aussi à la question : comment a t on construit [tex]\mathbb Z[/tex] à partir de [tex]\mathbb N[/tex] ?


PS: je ne sais pas pourquoi tu as parlé de Z/nZ .... (un problème d'encodage a d'ailleurs empéché de voir ce que tu as écrit ..) )
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yassinemp
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 26/07/2011 à 20h07
J'ai jamais pensé à ca mais j'imagine que
Z= IN Union IN- (PAR ABUS de Notation).
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Mohamed
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Re : PrĂ©parer Ta SpĂ© MP .. 26/07/2011 à 20h19
mais c'est quoi N- ???
VoilĂ :
une autre fois Z=(N^2)/R avec (a,b)R'a',b') si a+b'=a'+b (relation d'Ă©quivalence)
Espace
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