Bonjour ,
On note [tex]\Large\left(E_{ij}\right)[/tex] la base canonique de [tex]\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/tex]
et on se donne deux couples distincts [tex](i,j)[/tex] et [tex](k,\ell)[/tex] de [tex]\{1,..,n\}^2[/tex]
alors l'application [tex]\Large\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\\;\;\;\;\;M\to M^{'}[/tex] où [tex]M^{'}[/tex] est obtenue en permutant [tex]m_{ij}[/tex] et [tex]m_{k\ell}[/tex]
est une symétrie hyperplane de [tex]\mathcal{M}_n(\mathbb{K})[/tex] (réflexion pour [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex])
et on a [tex]\fbox{\Large\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\;\;,\;\;M^{'}=\;M\;-\;\tr\left(^tM(E_{ij}-E_{k\ell})\right).\left(E_{ij}-E_{k\ell})}[/tex] |