Logo-de-mathsland.com
 math sup
existence 17/08/2012 à 05h50


salam



soient trois [tex]\mathbb{R}-ev[/tex] E,F et G on suppose g de dimension finie et [tex]g \in L(E,G)[/tex] , [tex]f \in L(E,F)[/tex] et [tex]Ker(g) \subset Ker(f)[/tex]

montrer que [tex]\exists h \in L(G,F)[/tex] tel que [tex]f=hog[/tex] ?

merci pour vous idées
Code LaTEX 
Espace
 math sup
Re : existence 17/08/2012 à 05h52
je veux dire G de dim finie
Espace
khawarizmi_maroc
Hors Ligne 
Re : existence 17/08/2012 à 06h31
Bonjour

@ math sup

cet exo est un grand classique , il est connu sous le nom "Theoreme de factorisation des applications lineaires"


cordialement
Espace
 math sup
Re : existence 17/08/2012 à 18h57

merci infiniment
Espace
Mohamed
En Ligne 
Re : existence 23/08/2012 à 00h50
Salut

Indication:
Une idée est de considrérer un supplémentaire [tex]G'[/tex] de [tex]\text{Im} g[/tex] et de poser [tex]h(x)=f(x_1)[/tex] si [tex]x \in \text{Im} g[/tex] et [tex]x_1[/tex] un antécédant quelconque de [tex]x[/tex] par [tex]g[/tex] ( il est donc indispensable de justifier que cela a un sens) et si [tex]x \in G'[/tex] on pose [tex]h(x)=0[/tex]
Evidement, si [tex]x \in G[/tex] et [tex]x=g(x_1)+x_2[/tex] avec [tex]x_1 \in E[/tex] et [tex]x_2 \in G'[/tex] on doit avoir, en conséquence: [tex]h(x)=f(x_1)[/tex]

Remarque:
La méthode ci-dessus n'utilise pas le fait que [tex]G[/tex] est de dimension finie.
On peut simplifier les choses si on suppose que [tex]G[/tex] est de dimension finie en manipulant des bases adaptées.
On discute: si [tex]g[/tex] est nulle alors on montre que [tex]f[/tex] aussi est nulle et par suite on a la factorisation demandée pour n'importe quelle [tex]h[/tex].
Si [tex]g[/tex] n'est pas nulle on considère une base de [tex]\text{Im } g[/tex] et deux cas sont possibles: si [tex]g[/tex] est surjective alors cette base est une base de [tex]G[/tex] ...
Sinon on la compléte en une base de [tex]G[/tex] et on travaille sur la base au lieu des sommes directes ..
Code LaTEX 
Espace
Sujet verrouilé par Vous êtes sur l'ancien Forum. Celui-ci est fermé. Cliquer ici pour accéder au nouveau Forum