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Dr Red1
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Sous ev propre 06/01/2012 à 10h34
Salam Alaykom !

Svp, j'aimerai bien que vous m'aidiez à résoudre cet exercice:

Soit [tex]\varphi[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex] et [tex]\alpha[/tex] une valeur propre de [tex]\varphi[/tex]. On considère [tex]\begin{array}{rcccr} \psi&:&{\mathcal L}(E) & \to & {\mathcal L}(E) \\ &&f& \to & \varphi \circ f \end{array}[/tex].
On note [tex]E_{\alpha}=\{f \in {\mathcal L}(E) / \psi(f)= \alpha f \}[/tex]
i) Montrer que [tex]E_{\alpha}[/tex] est un espace vectoriel .
ii) Donner la dimension de [tex]E_{\alpha}[/tex]

Je vous ai une autre question svp :

comment démontrer qu'une matrice [tex]A[/tex] et sa transposeé ont les mêmes valeurs propres ?



ÌÒÇßã Çááå ÎíÑÇ


Modéré par Mohamed : Mise en equation
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evariste

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Re : Sous ev propre 06/01/2012 à 13h52
Alayka ssalam

1) la première question me parait claire, il s'agit de prendre

[tex]f,g\in E_{\alpha}[/tex] et [tex]\lambda\in K[/tex] et prouver que [tex]f+\lambda g \in E_{\alpha}[/tex] ce qui est vrai par linéarité de [tex]\psi[/tex]

2) si [tex]x\in E,\, f\in E_{\alpha}[/tex] alors [tex]\psi(f)(x) = \alpha f(x)[/tex] càd [tex]\varphi(f(x)) = \alpha f(x)[/tex] ce qui veut dire que [tex]f(x)[/tex] est vecteur propre de [tex]\varphi[/tex] associé à [tex]\alpha[/tex] et donc si [tex]f\in E_{\alpha}[/tex] alors elle envoie [tex]E[/tex] dans l'espace propre [tex]\ker(\varphi -\alpha Id)[/tex], et que réciproquement si [tex]f\in L(E, \ker(\varphi -\alpha Id))[/tex] alors l'extension de l'image de [tex]f[/tex] à [tex]E[/tex] tout entier définit un élément de [tex]E_{\alpha}[/tex] et donc on peut voir que [tex]E_{\alpha}\sim L(E, \ker(\varphi -\alpha Id))[/tex]. J'utilise le symbole [tex]\sim[/tex] et pas [tex]=[/tex] juste pour un détail mineur et pour dire qu'il y a bijection ou mieux un isomorphisme; un [tex]f\in E_{\alpha}[/tex] a son image définie dans [tex]E[/tex] alors qu'un élément de [tex]L(E, \ker(\varphi -\alpha Id))[/tex] a son image dans [tex]\ker(\varphi -\alpha Id))[/tex]. La dimension de [tex]E_{\alpha}[/tex] est donc [tex]\dim E \times \dim \ker(\varphi -\alpha Id))[/tex][ .
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Dr Red1
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Re : Sous ev propre 06/01/2012 à 14h44
Re- salut !

Pour la 1ére question, j'ai fait la même chose.
Pour la 2éme c'était très bien expliqué de votre part, un grand merci mr evariste .

ps : j'ai posé une question à la fin du message ...

Merci d'avance
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 Cé Moi Lhassane
Re : Sous ev propre 06/01/2012 à 14h55
BJR au Forum .
BJR Dr Red1

Pour ta question que tu as posée à la fin de ton Topic .....
En gros celà résulte du fait que pour toute matrice carré (nxn) B on a la relation [tex]\det (B) = \det (^tB)[/tex]
On a de ce fait [tex]^tA - X.I_n=^tA - ^t(X.I_n)=^t (A - X.I_n)[/tex]
Ne pas perdre de vue que la matrice [tex]X.In[/tex] est scalaire ( donc est symétrique ) .
Par suite [tex]\det (^t A - X.I_n)= \det (^t(A - X.I_n))=\det (A - X.I_n)[/tex]
d'ou [tex]A[/tex] et [tex]^tA[/tex] on même polynôme caractéristique d'où ta conclusion ....

Amicalement . LHASSANE
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Dr Red1
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Re : Sous ev propre 06/01/2012 à 15h33
BJR Mr Lhassane,

J'ai vrmnt pensé à ça car en faisant mon essaye pour la démontrer je n'ai pas pu écrire Dét(B)=Dét( B*) même si je l'ai vérifié par un exemple toutefois je pensais que ça existe !
Je crois que mes questions vous paraissent parfois banales mais c'est à cause du cours qu'on fait en classe ( A l'ensa ) , on ne nous donne pas tout et nous sommes demandés de chercher l'information partout avec les preuves !

Merci bcp de nous avoir consacré un peu de votre cher temps !
Çááå íÒíÏåÇ Ýí ãíÒÇä ÍÓäÇÊßã Âãíä
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Mohamed
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Re : Sous ev propre 06/01/2012 à 17h28
Salut,
Moi aussi , je remercie evariste et Lhassane pour le beau travail.
Je remercie également Dr Red1 pour ses questions et la façon dont il communique avec la communauté.
Je lui ajpute le renseignement sui vant: Pour tout coupel [tex](A,B)[/tex] de matrices carrées de taille [tex]n[/tex] à coefficients dans [tex]{\mathbb K}[/tex] , on a : [tex]AB[/tex] et [tex]BA[/tex] ont le même polynôme caratéristique.
Pour le démontrer , il suffit de prouver que pour tout [tex]x \in {\mathbb K}[/tex] , on a : [tex]\det(AB-xI_n)= \det (BA - xI_n)[/tex]
Soit alors [tex]x \in {\mathbb K}[/tex] et supposons dans un premier temps que la matrice [tex]A[/tex] est inversible . Partant de:
[tex]\Large AB-x I_n = ABAA^{-1} - A(xI_n) A^{-1} = A(BA-xI_n) A^{-1}[/tex]

on peut conclure pour ce cas.
Passons au cas général : On sait que [tex]GL_n({\mathbb K})[/tex] est dense dans [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb K})[/tex], donc il existe une suite [tex](A_p)[/tex] de matrices inversible tel que [tex]\lim_{p \to + \infty} A_p=A[/tex].
D'aprés l'étude du premier cas , on a , pour tout entier p : [tex]\det(A_pB-xI_n)= \det (BA_p - xI_n)[/tex].
Par continuité de [tex]\det[/tex], et par passage à la limite quand [tex]p[/tex] tends vers [tex]+\infty[/tex] on obtient le résultat désiré.
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Dr Red1
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Re : Sous ev propre 07/01/2012 à 02h26
Re-salut !

La seule chose que j'ai déduite de l'égalité c'est que la matrice AB-xIn est diagonalisable ... est ce que ça veut dire que AB et BA ont le même polynôme caractéristique ?
Si je suppose comme vous avez fait A est inversible, je peux écrire :

det(AB-xIn) =det [A(B-x*1/A)]=det A * det (B-x*1/A)= det(B-x*1/A)*detA= det(BA-xIn)
1/A c'est la matrice inverse de A ..

on peut conclure

Si A n'est pas inversible
on peut considérer deux applications telles que :

f : alfa-----> f(alfa)= det(A( indice alfa)*B-xIn)
g: alfa-----> g(alfa)=det(B*A(indice alfa) -xIn)
avec A(indice alfa)= A-alfa*In , alfa appartenant à IK

on doit montrer que f(0)=g(0)
si alfa n'est pas une valeur propre de A alors la matrice A indice alfa sera inversible ( car det (A-alfa*In) est non nul) et on refait la même chose faite dans le cas où A est inversible ...

Pour le cas général que vous avez traité, je l'ai pas compris ... y'avait des choses qu'on n'a pas faites malheureusement ...
Amicalement .
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