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asmae1994
En Ligne 
Applications 22/10/2011 à 13h52


Slt tout le monde ,

un exercice d'application (prépas ECS)


Soit E=\{1,2,3\}

Déterminer toutes les applications f allant de E vers E et vérifiant f(1)=f(2)



MERCI d'avance
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 C√© Moi Lhassane
Re : Applications 22/10/2011 à 17h13
Salut !

Il y a 27 applications de E dans E .
Essayon s de déterminer parmi ces 27 là , celles qui vous conviennent !!!

On doit avoir f(1)=f(2)=a avec a dans E
On a ainsi 3 possibilités de choisir a , une fois a choisi il reste 3 possibiltés pour le choix de f(3)

Donc en toute logique , il y a NEUF (9) applications f de E dans E qui répondent à vos critères .

Amicalement .
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asmae1994
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Re : Applications 23/10/2011 à 02h27


Merci bcp pour votre réponse Lhassane , juste est ce que vous pouvez m'expliquer comment vous avez reconnu qu'il y avait 27 applications possibles ??
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 C√© Moi Lhassane
Re : Applications 23/10/2011 à 10h32
BJR Asmae !!

C'est un résultat connu qui traine dans tous les Livres .....
Soient E et F deux ensembles finis avec n=Card E et m=Card F .
Le nombre total des applications de E dans F est égal à {Card F}^(Card E) =(m)^n
ICI n=m=3 donc (3)^3=3.3.3=27

Amicalement .
Espace
 C√© Moi Lhassane
Re : Applications 23/10/2011 à 10h36
Cé encore Moi ....

Le résulat :
<< Soient E et F deux ensembles finis avec n=Card E et m=Card F .
Le nombre total des applications de E dans F est égal à {Card F}^(Card E) =(m)^n >>

Se démontre sans difficultés par récurrence sur m=Card F
Tu peux essayer toute seule ..... et s'il y a un problème , j'interviendrais le cas échéant ....

Amicalement .
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Mohamed
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Re : Applications 23/10/2011 à 19h12
Salut,

Merci Lhassane pour l'aide

Une manière de démontrer ce résultat est aussi de voir que :
si [tex]\text{card} E= n \geq 2[/tex] et si on pose alors : [tex]E=\{x_1,...,x_n\}[/tex] alors il existe une bijection de [tex]A(E,F)[/tex] , ensemble des applications de [tex]E[/tex] vers [tex]F[/tex] vers [tex]F ^n= F \times ... \times F[/tex] ([tex]n[/tex] fois ), elle associe à chaque [tex]f \in A(E,F)[/tex], le [tex]n-[/tex]uple : [tex](f(x_1),...,f(x_n))[/tex].
On est donc ramné à prouver que [tex]\text{card}(F^n)=(\text{card} F)^n[/tex].
Le cas [tex]n=1[/tex] peut se traiter à part ou alors faire une extension là dessus avec la convention [tex]F^1=F[/tex].


Je tiens à te remercier pour tes interventions de ces mois 9 et 10 lesquelles j'ai toutes suivies et qui comme toujpurs permettent aux élèves et étudiants d'avoir l'occasion de cherceher eux mêmes avant de découvrire une solution complète ...
Code LaTEX 
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 C√© Moi Lhassane
Re : Applications 23/10/2011 à 20h22
BSR Mohamed .

J'interviens pour le Fun .... et pour ne pas m'ennuyer et faire travailler les P'Tits Gars , je préfère les aiguiller comme tu le fais du reste !!
Ceux qui acceptent cette Pédagogie réagissent bien et les autres qui attendent " Le Tout Cuit Prêt à Mettre Dans le Gosier " abandonnent .....

Pour l'exo d'Asmae , comme elle est en Prépas ECS ( Prépas HEC ) en vue de concourir aux Grandes Ecoles de Commerce , la récurrence semble appropriée pour elle tant qu'il y a de la Combinatoire !!!

Porte-Toi Bien & Bonne Reprise !!!
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asmae1994
En Ligne 
Re : Applications 23/10/2011 à 23h59
Merci bcp à vous, vraiment c gentil de votre part !!
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