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iyad
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Convexité 30/10/2012 à 23h09
Bonsoir :)

comment montrer que [tex]f(Q) = E ( log det( I+ \alpha HQ H^{H}) ) [/tex] est concave.

ou Q est une matrice symetrique positive

et E est l'espérance par rapport a H

merci
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iyad
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Re : Convexité 30/10/2012 à 23h16
cà revient à montrer que la dériver seconde de [tex]f ( \lambda \mathbb{Q}_1 + (1- \lambda ) \mathbb{Q}_2) [/tex] est négative ou [tex]\lambda [/tex] est entre 0 et 1 .

Le prof nous a donné une indication

[tex]\frac{\partial log det(Ax+B)}{\partial x} = Tr ( (Ax+B)^{-1}A)[/tex]
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nmo
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Re : Convexité 03/09/2015 à 20h04
Ce serait formidable si quelqu'un peut nous dire comment est défini le logarithme d'une matrice!
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Mohamed
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Re : Convexité 05/09/2015 à 00h11
Salut,
@nmo: dans le présent topic, il s'agit du logarithme de la norme d'une matrice (non nulle)
Sinon , on peut définir [tex]\ln(I_n+M)[/tex] où [tex]M[/tex] est une matrice tel que [tex]\||M\|| < 1[/tex] (norme matricielle), en considérant la série [tex]\sum \frac{(-1)^{k-1}}{k} M^k[/tex]. Série convergente car absolument convergente car la série entière [tex]\sum \frac{x^k}{k}[/tex] admet [tex]1[/tex] pour rayon de convergence et on a supposé que [tex]\||M\|| < 1[/tex]
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nmo
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Re : Convexité 07/09/2015 à 10h48
@Mohamed: Merci, je n'ai pas pensé que [tex]|.|[/tex] peut s'agir de la norme d'une matrice.
J'ai tenté de prouver l'indication de iyad, mais je bloque au bout d'une étape:
[tex]\frac{d}{dx}\log(|Ax+b|)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\log(|Ax+b|^2)=\frac{1}{2}.\bigg(\frac{d}{dx}|Ax+b|^2\bigg).\frac{1}{|Ax+b|^2}=\frac{1}{2}.2<A,Ax+b>.\frac{1}{|Ax+b|^2}=<A,\frac{Ax+b}{|Ax+b|^2}>[/tex].
Comment peut-on faire intervenir la trace de [tex](Ax+b)^{-1}A[/tex]?
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Mohamed
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Re : Convexité 09/09/2015 à 00h31
Essaye de pousser encore tes calculs en utilisant le fait que si [tex]M_1,M_2[/tex] sont deux matrices carrée réelle de taille [tex]n[/tex] alors [tex]\langle M_1,M_2 \rangle = \text{Tr} (^tM_1M_2)[/tex] (je veux dire que c'est le produit scalaire adopté naturellement. )
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nmo
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Re : Convexité 09/09/2015 à 10h00
@Mohamed: Votre réponse me fait penser à l'identité suivante [tex]\frac{d}{dx}|Ax+b|^2=2<A,Ax+b>[/tex] où [tex]A\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})[/tex] et [tex]b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})[/tex] que j'ai utilisée.
Mais comment on peut calculer le produit scalaire en question, sachant que [tex]A\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})[/tex] et [tex]Ax+b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})[/tex]?
EDIT: Je me suis rendu compte enfin à la source de confusion que j'ai eue. Je m'explique, en attente d'une confirmation:
Normalement, cela n'a pas de sens de calculer la dérivée par rapport à la variable [tex]x[/tex] parce que [tex]x[/tex] intervient dans [tex]Ax+b[/tex] comme un vecteur de [tex]\mathcal{M}_{n,1}[/tex]. Ce qu'il faut plutôt calculer c'est le gradient de [tex]x\to|Ax+b|[/tex] en un point!
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