Salut
Question 1:
[tex]\bullet[/tex] Non linéarité de [tex]g[/tex]: Si [tex]f[/tex] est l'élément de [tex]E[/tex] tel que [tex]f(x)=x^2[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb R[/tex], comparer [tex]f(1+2)[/tex] et [tex]f(1) + f(2)[/tex] et en déduire que [tex]g(1+2) \neq g(1) + g(2)[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Injectivité de [tex]g[/tex]: Si [tex](a,b) \in {\mathbb R}^2[/tex] , notons [tex]u[/tex] l'application identique de [tex]\mathbb R[/tex]. Que vaut [tex]g(a)(u)[/tex] et [tex]g(b)(u)[/tex]? Qu'en déduit on ?
[tex]\bullet[/tex] [tex]g[/tex] n'est pas surjective: Tu peux par exemple remarquer que pour tout [tex]a \in {\mathbb R}[/tex], la forme linéaire [tex]g(a)[/tex] est non nulle , en effet si [tex]v[/tex] est l'application constante de valeur [tex]1[/tex] de [tex]{\mathbb R}[/tex] vers lui même, on [tex]g(a)(v)=v(a)=1[/tex]. Cela te suffit largement pour déduire que [tex]g[/tex] n'est pas surjective.
Question 2:
Je crois que tu as du oublier quelque chose dans la définition de [tex]u(f)(x).[/tex] Avec [tex]u(f)(x)=f(a-x)[/tex] c'est bon, mais j'attends que tu confirmes. |