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drajou
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dualite en dimension infinie 20/01/2014 à 17h33
bonjour a tous .
voila un bon exercice a faire
je veux quelque aide si vous voulez.

soit E(R,R) l espqce vectoriel des aplications de R dans R
1) on considere l aplication g: R dans E* qui tout a appartient a R associe la forme lineare g(a)appartient a E* definie par g(a)(f)=f(a) quelquesoit f appartient a E
monter que g est injective,n est pas surjective et n est pas lineare
2)soit a un reel,et u :E dans E l aplacation qui toute f appartient a E associe u(f) appartient a E definie par u(f)(x)=f(a-x) quelquesoit x appartient a R .
montrer que u est une automorphisme involutif de R espace E/.qu on resulte pour transpose(u)?
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Mohamed
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Re : dualite en dimension infinie 04/02/2014 à 15h34
Salut
Question 1:
[tex]\bullet[/tex] Non linéarité de [tex]g[/tex]: Si [tex]f[/tex] est l'élément de [tex]E[/tex] tel que [tex]f(x)=x^2[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb R[/tex], comparer [tex]f(1+2)[/tex] et [tex]f(1) + f(2)[/tex] et en déduire que [tex]g(1+2) \neq g(1) + g(2)[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Injectivité de [tex]g[/tex]: Si [tex](a,b) \in {\mathbb R}^2[/tex] , notons [tex]u[/tex] l'application identique de [tex]\mathbb R[/tex]. Que vaut [tex]g(a)(u)[/tex] et [tex]g(b)(u)[/tex]? Qu'en déduit on ?
[tex]\bullet[/tex] [tex]g[/tex] n'est pas surjective: Tu peux par exemple remarquer que pour tout [tex]a \in {\mathbb R}[/tex], la forme linéaire [tex]g(a)[/tex] est non nulle , en effet si [tex]v[/tex] est l'application constante de valeur [tex]1[/tex] de [tex]{\mathbb R}[/tex] vers lui même, on [tex]g(a)(v)=v(a)=1[/tex]. Cela te suffit largement pour déduire que [tex]g[/tex] n'est pas surjective.
Question 2:
Je crois que tu as du oublier quelque chose dans la définition de [tex]u(f)(x).[/tex] Avec [tex]u(f)(x)=f(a-x)[/tex] c'est bon, mais j'attends que tu confirmes.
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drajou
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Re : dualite en dimension infinie 12/02/2014 à 15h17
merci bcp monsieur pour votre aide

oui j'ai modifie mon message tu as raison dans la deuxieme question
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