Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$   1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$   2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

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On note $I$ l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ et on considère la fonction $F$ définie sur $I$ par : $$F(x)=\int_{\ln(2)}^{x}\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}$$ 1.a. Etudier le signe de $F(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.b. Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et donner l’expression de $F^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.c. Montrer que $F$ est strictement croissante […]

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Partie I Soit $t$ un réel. 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $\displaystyle t\mapsto e^{-t}$, montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un réel $\theta$ dans l’intervalle $\displaystyle ]0\,,\,x[$ tel que : $$e^{\theta}=\frac{x}{1-e^{-x}}$$ 2. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : (a) […]

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Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\displaystyle (O\,,\,\vec{u}\,,\,\vec{v}\,)$. On considère les points $M_1$ et $M_2$ du plan complexe de sorte que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ soient deux à deux distincts et non alignés. Soient $z_1$ l’affixe du point $M_1$, $z_2$ l’affixe du point $M_2$ et $z$ l’affixe du point $M$ […]

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Partie I Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, tels que $a^3+b^3$ est divisible par $173$. On notera que $173$ est un nombre premier. 1. Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}\quad [173]$. (On remarquera que $171=3\times 57$). 2. Montrer que $a$ est divisible par $173$ si et seulement si $b$ est divisible par $173$. 3. […]

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On rappelle que $\displaystyle\big(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),+,\times\big)$ est un anneau unitaire. $\displaystyle\mathtt{I}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$ est l’élément unité de $\displaystyle\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Et $\displaystyle\big(\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),+,\times\big)$ est un corps commutatif. Pour tout tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on pose : $$M(x,y)=\left(\begin{matrix} x+y & 0 & -2y \\ 0 & 0 & […]

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