Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=x^2\,\sin\left(\frac{E(x)}{x^2}\right)$$   1. Vérifier que $f$ est bien définie sur l’intervalle $[1\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}E(x)=+\infty$. 3. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0$. 4. En déduire la valeur de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet des indications […]

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À travers cette série d’exercices sur le calcul de limites, j’essaie de proposer un panorama des différentes formes indéterminées auxquelles vous serez confrontées en classe de terminale, et de vous donner les différentes techniques à maîtriser pour lever ces indéterminations : Expression conjuguée pour les limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, le taux d’accroissement ou […]

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Cet exercice réunit quelques-unes des notions importantes en ce début d’année scolaire : Calcul de limites, notion de continuité et la fonction partie entière. Il est particulièrement intéressant dans la mesure où il vous amène à mettre en oeuvre la méthode de l’encadrement, souvent utilisée dans les calculs de limites avec partie entière. Le résultat de la […]

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L’objectif de cet exercice est de vous donner une méthodologie pour calculer ce type de limite avec partie entière. L’exercice contient beaucoup de technicité. J’ai essayé de structurer le raisonnement de sorte à ce que vous puissiez réutiliser cette méthodologie pour d’autres exercices de limite avec partie entière. Le plus important à mon sens et […]

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Tout d’abord, pardon pour cette longue absence. Durant ces quinze derniers jours, j’étais très occupé par mon travail quotidien. La rentrée est synonyme de lancement de nouveaux projets dans les entreprises Je reprends le fil et je propose cet exercice qui consiste à calculer une limite avec partie entière.   RAPPELS : La partie entière (par […]

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Dans cet article, je propose de revenir sur la notion de limite d’une fonction en un point à travers des situations simples, mais qui restent parfois peu assimilées. J’espère que cet article vous aidera en classe de terminale. Bonne lecture  Soit $f$ la fonction définie par : $$f\,:\begin{cases}x-1\qquad\qquad\text{si }x\neq 2\\\text{indéfinie}\qquad\,\,\,\text{si }x=2\end{cases}$$ La représentation graphique de $f$ […]

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Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\sqrt{x^2-2x\cos(x)+1}$$ Déterminer les limites éventuelles : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$   Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les passages délicats ou particulièrement difficiles   Avant de commencer les calculs, il ne faut pas oublier de regarder si la fonction $f$ est bien définie au voisinage de $+\infty$ […]

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Partie I Soit $n$ un entier naturel. On considère la suite $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :   $u_0=1$, $u_1=1$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par $\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$   1. Montrer que $u_n\in\mathbb{N}^*$. 2. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a : $u_n\geq n$. Justifier que ce résultat est vrai pour tout $n$ […]

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^{2}}} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,,\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)$. Voici quelques valeurs utiles si vous ne souhaitez pas utiliser votre calculatrice : $\sqrt{\frac{2}{3}}\sim 0,8$, $\frac{5}{\sqrt{6}}\sim 0,5$ et $e^{-\frac{3}{2}}\sim 0,22$ PARTIE I 1. Montrer que $f$ est continue […]

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On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\ln(1+x)} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x>0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ Soit $n$ un entier naturel. On note $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par la relation de récurrence : $u_{0}=e$ et $\forall\,n\in\mathbb{N}\,,\qquad u_{n+1}=f(u_{n})$ 1. Déterminer le signe de $f$ sur l’intervalle $[0\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, […]

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