Forums Secondaire Premières Autour des parties entières

Ce sujet a 4 réponses, 2 participants et a été mis à jour par  CHOUKRI, il y a 6 mois.

5 sujets de 1 à 5 (sur un total de 5)
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  • #1302

    CHOUKRI
    Participant

    Montrer que pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$, on a l’égalité $$\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\lfloor x\rfloor $$
    où $\lfloor t\rfloor$ désigne la partie entière du nombre réel $t$.

     

    #1303

    On a $n \times\lfloor{x}\rfloor \le\lfloor{nx}\rfloor \le nx$

    Donc $ \lfloor{x}\rfloor \le \frac{\lfloor{nx}\rfloor}{n} \le x$

    D’où $\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\lfloor x\rfloor$</span>

     

    #1307

    CHOUKRI
    Participant

    Pourquoi on a $n\lfloor x\rfloor\leq \lfloor nx\rfloor$ ?

    #1309

    CHOUKRI
    Participant

    L’inégalité $n\lfloor x\rfloor\leq \lfloor nx\rfloor$ vraie pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$ réside du fait que $$\lfloor (n+1)x\rfloor=\lfloor nx+x\rfloor\geq \lfloor nx\rfloor+\lfloor x\rfloor\quad (\lfloor x+y\rfloor\geq \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor)$$ et une récurrence immédiate sur $n$.

    • Cette réponse a été modifiée le il y a 6 mois par  CHOUKRI.
    #1311

    CHOUKRI
    Participant

    Une autre méthode plus longue mais plus astucieuse consiste à remarquer qu’en posant $f(x)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ de variable réelle ainsi définie, il s’agit de montrer que la fonction $f$ est nulle. Commençons par remarquer que pour tout réel $x$, on a $$f(x+1)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor n(x+1)\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x+1\rfloor=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor+1-\lfloor x\rfloor-1=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor=f(x) $$

    Ainsi, la fonction $f$ est 1-périodique. Il suffit de montrer que la fonction $f$ est nulle sur l’intervalle $[0,1[$. En distinguant, les cas $x\in\bigg[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\bigg[$ pour $k\in\{0,1,…,n-1\}$, on retrouve le résultat. CQFD.

    • Cette réponse a été modifiée le il y a 6 mois par  CHOUKRI.
    • Cette réponse a été modifiée le il y a 6 mois par  CHOUKRI.
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