Forums Supérieur Algèbre et Géométrie Un dessert d'algèbre linéaire

Ce sujet a 1 réponse, 1 participant et a été mis à jour par  CHOUKRI, il y a 3 mois et 1 semaine.

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  • #1296

    CHOUKRI
    Participant

    Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ un corps commutatif. Supposons que $A+B+AB=0$.

    Prouver que les matrices $A$ et $B$ commutent.

    • Ce sujet a été modifié le il y a 3 mois et 1 semaine par  CHOUKRI.
    #1298

    CHOUKRI
    Participant

    C’est facile, en effet il suffit d’utiliser l’identité $(a+1)(b+1)=a+b+ab+1$ (vraie pour tout anneau unitaire).

    Puisque $A+B+AB=0,\quad (*)$, alors $A+B+AB+I_n=I_n$, l’identité cité ci-dessus permet d’écrire $(A+I_n)(B+I_n)=I_n$, donc $(B+I_n)$ est l’inverse de $A+I_n$, et alors $(B+I_n)(A+I_n)=I_n$ et par conséquent $A+B+BA=0$. En comparant avec $(*)$, il résulte que $AB=BA$, autrement dit les deux matrices $A$ et $B$ commutent.

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