Enoncé

Cet exercice réunit quelques-unes des notions importantes en ce début d’année scolaire : Calcul de limites, notion de continuité et la fonction partie entière. Il est particulièrement intéressant dans la mesure où il vous amène à mettre en oeuvre la méthode de l’encadrement, souvent utilisée dans les calculs de limites avec partie entière.

Le résultat de la question 1 est un grand classique, et il vous est sûrement arrivé de l’utiliser sans avoir à le démontrer. C’est à vous de voir si vous voulez vous échauffer avec cette question avant de vous attaquer à la deuxième qui est plus costaud, ou de le considérer comme acquis ;-)

Bon exercice et bon travail !


Soit $f$ la fonction définie par :

$$\begin{cases}f(x)=E\left(\frac{1}{x}\right)\,\sin(x)\qquad\text{si }x\neq 0\\f(0)=1\end{cases}$$

 

1. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

2. Montrer que $f$ est continue en $0$

 

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice ;-)

 

La première question ne présente pas de difficultés particulières :-)

 

Pour la question 2, et plus généralement pour le calcul de limites avec partie entière, il convient de toujours essayer la méthode de l’encadrement en partant de la définition de la fonction partie entière.

Ainsi, dans le cadre de cet exercice, cela donne :

$$\forall x\in\mathbb{R}^*\,,\qquad\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1}{x}$$

Ensuite, il faudra reformer l’expression de $f$ en multipliant les membres de cette inégalité par $\sin(x)$ … En faisant attention au changements de signes ;-)

Et enfin, passer aux calculs des limites !

 

Corrigé

$f$ est la fonction définie par :

$$\begin{cases}f(x)=E\left(\frac{1}{x}\right)\,\sin(x)\qquad\text{si }x\neq 0\\f(0)=1\end{cases}$$

 

1. Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$ :

 

Pour $x\neq 0$, on a : $\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$ où $g(x)=\sin(x)$.

Or, $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a fortiori en $0$, donc le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\;$ admet une limite finie en $0$ et on a :

$$\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}&=g^{\prime}(0)\\&=\cos(0)\\&=1\end{align}$$

 

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$.

 

2. $f$ est continue en $0$ :

Pour montrer que $f$ est continue en $0$, il faut et il suffit de montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$.

Je commence donc par calculer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$.

La méthode de l’encadrement fonctionne assez souvent avec les exercices traitant de la partie entière. En tous les cas, vous ne perdrez rien à essayer ;-)

Pour tout réel $x$ non nul, on a :

$$\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1}{x}$$

Je multiplie les membres de cette inégalité par $\sin(x)$ pour faire apparaître l’expression de $f$, tout en faisant attention au signe de $\sin(x)$.

Ainsi, il faudra distinguer deux cas :

PREMIER CAS :

Si $\sin(x)\geq 0$, alors l’inégalité ci-dessus devient,

$$\frac{\sin(x)}{x}-\sin(x)\leq E\left(\frac{1}{x}\right)\,\sin(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}$$

Soit,

$$-\sin(x)\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq 0$$

Or du fait qu’ici $\sin(x)\geq 0$, on peut écrire :

$$-\sin(x)\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq 0\leq\sin(x)$$

D’où,

$$\left|f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right|\leq |\sin(x)|$$

 

DEUXIÈME CAS :

Si $\sin(x)\leq 0$, alors on a :

$$\frac{\sin(x)}{x}-\sin(x)\geq E\left(\frac{1}{x}\right)\,\sin(x)\geq\frac{\sin(x)}{x}$$

C’est-à-dire,

$$\frac{\sin(x)}{x}\leq f(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}-\sin(x)$$

Ou encore,

$$0\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq -\sin(x)$$

Comme ici on a $\sin(x)\leq 0$, alors on peut écrire :

$$\sin(x)\leq 0\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq -\sin(x)$$

Soit,

$$\left|f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right|\leq |\sin(x)|$$

 

Finalement, pour tout réel $x$ différent de $0$, on a :

$$\left|f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right|\leq |\sin(x)|$$

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0}|\sin(x)|=0$, alors,

$$\lim_{x\to 0}\left(f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right)=0$$

D’après le résultat établi à la question, on a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$,

On en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1=f(0)$. Et par suite, $f$ est continue en $0$.

 

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
  1. Saïd BENLAADAM

    Bonsoir à toutes et à tous,

    Ce n’est pas bien grave si l’idée de majorer la valeur absolue à la question 2 ne vous vient pas.

    $$\left|f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right|\leq |\sin(x)|$$

    Je propose ici une alternative pour conclure à la question 2.

    Par exemple, dans le premier cas où $\sin(x)\geq 0$, on a l’inégalité :

    $$-\sin(x)\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq 0$$

    Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0}-\sin(x)=0$ alors $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\right)=0$ d’après le théorème des gendarmes puis le reste vient tout seul ;-)

    Même chose pour le deuxième cas où $\sin(x)\leq 0$ avec l’inégalité :

    $$0\leq f(x)-\frac{\sin(x)}{x}\leq -\sin(x)$$

    Saïd

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