Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\begin{cases}x\,\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.   1. $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? 2. $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb{R}$ ? 3. Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 4. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a […]

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Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq b$ et $f$ l’application de $\displaystyle [a\,;\,b]$ dans $\displaystyle [a\,;\,b]$ définie par :   $$\begin{cases}f\left([a\,;\,b]\subset [a\,;\,b]\right)\\\\\forall (x\,;\,y)\in [a\,;\,b]\times [a\,;\,b]\,,\quad|f(x)-f(y)|<|x-y|\end{cases}$$   1. Montrer que $f$ est continue sur $\displaystyle [a\,;\,b]$. 2. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de $\displaystyle [a\,;\,b]$ par : $$g(x)=f(x)-x$$ 2.1 […]

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Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par :   $$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$   1. Calculer $f(1)$. 2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$ 2.2 Calculer la limite […]

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Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$   1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que : $$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$   2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.   FIN Vous trouverez dans cet onglet […]

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Cet exercice réunit quelques-unes des notions importantes en ce début d’année scolaire : Calcul de limites, notion de continuité et la fonction partie entière. Il est particulièrement intéressant dans la mesure où il vous amène à mettre en oeuvre la méthode de l’encadrement, souvent utilisée dans les calculs de limites avec partie entière. Le résultat de la […]

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Partie I Soit $t$ un réel. 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $\displaystyle t\mapsto e^{-t}$, montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un réel $\theta$ dans l’intervalle $\displaystyle ]0\,,\,x[$ tel que : $$e^{\theta}=\frac{x}{1-e^{-x}}$$ 2. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : (a) […]

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^{2}}} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,,\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)$. Voici quelques valeurs utiles si vous ne souhaitez pas utiliser votre calculatrice : $\sqrt{\frac{2}{3}}\sim 0,8$, $\frac{5}{\sqrt{6}}\sim 0,5$ et $e^{-\frac{3}{2}}\sim 0,22$ PARTIE I 1. Montrer que $f$ est continue […]

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On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,,\,+\infty [$ par : $$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\ln(1+x)} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x>0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ Soit $n$ un entier naturel. On note $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par la relation de récurrence : $u_{0}=e$ et $\forall\,n\in\mathbb{N}\,,\qquad u_{n+1}=f(u_{n})$ 1. Déterminer le signe de $f$ sur l’intervalle $[0\,,\,+\infty [$. 2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, […]

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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{e^{x}-1} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 1\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. Préambule 1. Étudier le signe de la fonction $g$ définie par : $$g:\,\begin{cases} \mathbb{R}\to\mathbb{R} & \\ x\mapsto (1-x)e^{x}-1& \end{cases}$$   2. Soient $\Delta_{1}\,$ et $\,\Delta_{2}$ les fonctions définies sur […]

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