Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$. Et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :   $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n>\sqrt{a}$$   2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. […]

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Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ par :   $$\begin{cases}f(xy)=f(x)+f(y)\\\\f \text{ est continue au point } x_0=1\end{cases}$$   1. Calculer $f(1)$. 2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 2.1 Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f(x)=f\left(\frac{x}{\alpha}\right)+f(\alpha)$$ 2.2 Calculer la limite […]

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L’objectif de cet exercice est de vous donner une méthodologie pour calculer ce type de limite avec partie entière. L’exercice contient beaucoup de technicité. J’ai essayé de structurer le raisonnement de sorte à ce que vous puissiez réutiliser cette méthodologie pour d’autres exercices de limite avec partie entière. Le plus important à mon sens et […]

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Tout d’abord, pardon pour cette longue absence. Durant ces quinze derniers jours, j’étais très occupé par mon travail quotidien. La rentrée est synonyme de lancement de nouveaux projets dans les entreprises Je reprends le fil et je propose cet exercice qui consiste à calculer une limite avec partie entière.   RAPPELS : La partie entière (par […]

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