Calcul de limites : Polynômes, fonction rationnelle. Cette exercice ne présente pas de difficultés particulières. Il vise surtout à rafraîchir les connaissances en rappelant les méthodes vues l’année dernière, et à vous donner des éléments rédactionnels. Bon exercice 1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^3+3x-7$. 2) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^4-3x^2+7x-1$. 3) Déterminer les limites […]

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Partie I Soit $n$ un entier naturel. On considère la suite $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :   $u_0=1$, $u_1=1$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par $\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$   1. Montrer que $u_n\in\mathbb{N}^*$. 2. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a : $u_n\geq n$. Justifier que ce résultat est vrai pour tout $n$ […]

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Cet article s’inscrit dans la continuité de l’article « Révisions d’été – Le raisonnement par récurrence (Partie I) » (Que vous pouvez consulter en cliquant ici). À ce titre, les deux articles sont complémentaires. I. Le principe de récurrence double : On rencontre parfois des récurrences un petit peu plus compliquées, où l’on ne sait pas déduire […]

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I. Le principe de récurrence : Soit $n$ un entier naturel. On considère les suites $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\displaystyle (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme général : $\displaystyle u_n=0+1+2+\cdots +(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}\quad$ et, $\displaystyle v_n=0^3+1^3+2^3+\cdots +(n-1)^3+n^3$. 1. Calculer $u_n$ et $v_n$ pour $n=0,\,1,\,2,\,3$ et $4$. Peut-on conjecturer une relation entre $u_n$ et $v_n$ ? 2. Considérons la propriété $\mathcal{P}_n$ : $u_{n}^2=v_n$. 2.1. […]

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On note $I$ l’intervalle $]0\,,\,+\infty[$ et on considère la fonction $F$ définie sur $I$ par : $$F(x)=\int_{\ln(2)}^{x}\frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}$$ 1.a. Etudier le signe de $F(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.b. Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et donner l’expression de $F^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ dans $I$. 1.c. Montrer que $F$ est strictement croissante […]

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Partie I Soit $t$ un réel. 1. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $\displaystyle t\mapsto e^{-t}$, montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un réel $\theta$ dans l’intervalle $\displaystyle ]0\,,\,x[$ tel que : $$e^{\theta}=\frac{x}{1-e^{-x}}$$ 2. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif, on a : (a) […]

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Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\displaystyle (O\,,\,\vec{u}\,,\,\vec{v}\,)$. On considère les points $M_1$ et $M_2$ du plan complexe de sorte que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ soient deux à deux distincts et non alignés. Soient $z_1$ l’affixe du point $M_1$, $z_2$ l’affixe du point $M_2$ et $z$ l’affixe du point $M$ […]

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Partie I Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, tels que $a^3+b^3$ est divisible par $173$. On notera que $173$ est un nombre premier. 1. Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}\quad [173]$. (On remarquera que $171=3\times 57$). 2. Montrer que $a$ est divisible par $173$ si et seulement si $b$ est divisible par $173$. 3. […]

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On rappelle que $\displaystyle\big(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),+,\times\big)$ est un anneau unitaire. $\displaystyle\mathtt{I}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$ est l’élément unité de $\displaystyle\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Et $\displaystyle\big(\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),+,\times\big)$ est un corps commutatif. Pour tout tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, on pose : $$M(x,y)=\left(\begin{matrix} x+y & 0 & -2y \\ 0 & 0 & […]

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^{2}}} \,\,\,\,\,&\text{Si}\,x\neq 0\\ 0\,\qquad &\text{Si}\,x=0 \end{cases}$$ On note $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,,\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)$. Voici quelques valeurs utiles si vous ne souhaitez pas utiliser votre calculatrice : $\sqrt{\frac{2}{3}}\sim 0,8$, $\frac{5}{\sqrt{6}}\sim 0,5$ et $e^{-\frac{3}{2}}\sim 0,22$ PARTIE I 1. Montrer que $f$ est continue […]

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