TS - Démonstration - Suites
Bonjour tout le monde,
Je suis à la recherche de la démonstration de la propriété suivante : "Toute suite croissante et non majorée diverge".
Même si le résultat me paraît évident, la démonstration n'est pas si facile ...
Si vous pouvez me donner quelques pistes de recherche, merci pour votre aide.
Salut!
Une démonstration de cette propriété est de procéder par l'absurde:
on suppose qu'il existe une suite croissante non majorée qui converge et on essaie de démontrer que cela implique un résultat absurde (faux); ceci démontrerait donc que notre hypothèse de départ est fausse et donc que toute suite croissante non majorée diverge.
Soit une suite U(n) croissante non majorée qui converge vers une limite b.
Comme on a lim U(n) = b quand n tend vers +infini on a
pour tout e>0 il existe un A>0 tel que pour tout n>A on |U(n)-b|<e
donc -e<U(n)-b < e
on prenant e = 1 on trouve que b+1 est un majorant de U(n)
pour être plus strict il fausra dire que comme U(n) est croissante alors tous les termes dont l'indice est inférieure à A sont majorés par ceux dont l'indice est > à A.
Donc trouver un majorant des termes dont l'indice est supérieur à A veut aussi dire qu'il est majorant de tous les termes de la suite.
donc b+1 est un majorant de U(n) quelque soit n
ce qui est contradictoire avec le fait que la suite est non majorée.
Donc absurde.
Ce qui nous donne donc que
"Toute suite croissante et non majorée diverge".
Si une partie de la démo n'est pas claire surtout n'hésites pas.
Je rappelle que l'inscription est totalement gratuite et que vous pouvez bénéficier d'un service de messagerie très intéressant et complétement gratuit. Ce site est fait pour les étudiants.
Bon courage.
Fays