Exercice sur les suites - 1ère S
Bonsoir,
Je suis en train de résoudre l'exercice suivant et je bloque sur plusieurs points. Je ne cherche pas la solution toute faite mais quelques pistes de recherche et de raisonnement.
Juste en-dessous de l'énoncé, il y a mon raisonnement, merci à celles et à ceux qui veulent bien m'aider.
1) L'énoncé :
Des enfants se partagent un sac de billes.
Le premier enfant en prend 2 et le dixième de celles qui restent.
Le deuxième en prend 2 et le dixième du reste.
Le troisième en prend 3 et le dixxième du reste, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui prend tout ce qui reste.
Combien y avait-il d'enfants, et combien chacun a-t-il pris de billes, sachant que toutes les parts étaient égales ?
2) La résolution :
On note n le nombre d'enfants et x la part de chacun.
a) Ecrire de deux façons la part de l'avant-dernier; en déduire l'égalité: n = (8/9) x + 1.
b) Ecrire de deux façons la part du premier. En déduire que x est solution d'une équation du second degré.
c) Résoudre cette équation et conclure.
Mon raisonnement:
Soit n le nombre d'enfants et x la part de chacun.
Le premier en prend une et le dixième de ce qui reste, soit : x(1) = 1 + (x - 1) / 10.
Le deuxième en prend 2 et le dixième de ce qui reste, soit : x(2) = 2 + ((x - x(1) - 2)/10), soit x(2) = (171/100) + (9/10) x.
Mais je n'arrive pas à conjecturer la formule générale.
Est ce que quelqu'un pourrait me dire si je suis dans la bonne voie et me donner une piste pour la formule générale ?
Merci beaucoup et bonne soirée.
Yassine
Salut!
Il y a une petite erreur sur le raisonnement! le premier nefant en prend 2 et le dixième du reste et non pas 1 + le dixième du reste comme il a été écrit dans l'équation.
pour le raisonnement donnez moi un peu de temps
Bonsoir fayçal,
Dasolé pour l'erreur, je viens de vérifier l'énoncé et c'est moi qui ai commis une erreur.
L'énoncé dit : Le premier enfant en prend une et le dixième de celles qui restent.
Yassine.
Bonsoir,
Voici quelques pistes en éspérant qu'elles vont aider 
On part de x (1) et on essaye de construire la relation qui donne x(n).
x(1) = 1 + (x - 1) / 10
x(2) = 2 + (x - x(1) - 2) / 10
x(3) = 3 + (x - x(2) - x(1) - 3) / 10
x(4) = 4 + (x - x(3) - x(2) - x(1) - 4) / 10
Et ainsi de suite ... Pour tout n > 1, on a:
x(n) = n + (x -x(n-1) - x(n-2) - x(n-3) - ... ...- x(1) - n) / 10
Autrement dit,
x(n) = n + (x - n) / 10 - SOMME (x(k) , k allant de 1 jusqu'à n-1)
J'espère que ceci va aider et j'espère qu'il n'y a pas d'erreur dans ce que j'écris étant donné l'heure ... tardive
Saïd
bonjour,
soit n le nombre d'enfants.
... et ainsi de suite veut aussi dire que le dernier enfant (n° n) prend n billes et le 1/10 du reste. comme il est le dernier ce reste est nul. donc le dernier enfant prend n billes.
or tous les enfants ont le meme nombre de billes, donc le nombre totale des billes est n*n=n².
en particulier le premier enfant prend n billes. or la part du premier est 1+(n²-1)/10=n, nous avons une équation de second degré, qui se factorise comme suit : (n-1)(n-9)=0.
première solution donc n=1, il n'y a qu'un seul enfant qui prend une bille (+ le 1/10 du reste, soit 0)
deuxième solution : n=9, nombre de billes=81, et chaque enfant prend 9 billes.
bonjour :
pour yassine : le raisonnement que tu as fait est très bien, il n'est même pas nécessaire d'aller plus loin pour trouver la solution. tu as écrit :
x(1)=1+ (x-1)/10 et
x(2)=171/100 + (9/100)x (je te corrige ce n'est pas (9/10)x).
en écrivant que x(1)=x(2) on a
1+(x-1)/10 = 171/100 + (9/100)x
n'est ce pas une simple équation de premier degré à une inconnue, qui a pour solution x=81 ? le reste en découle.
Soit b le nombre de billes, n le nombres d'enfants et p1,p2,..,pn les parts des enfants. Alors :
p1=1+1/10*(b-1)
p2=2+1/10*(b-p1)
..etc
p1=p2 => 10+(b-1)=20+(b-p1)
donc p1=9
or 10*p1=10+b-1 donc b=10*p1-9=81
Comme b=n*p1 alors n=b/p1=9
slt tt le monde je ss nouvelle mé j voulait bien savoire c en kel niveau vous travailé si c possible bien sure
salut charmante20060, le site est pour touts les niveaux , donc bienvenue à toi avec nous ^^