Résolution d'équation - TS
Bonjour,
Voici un exo que j'ai à faire et je bloque sur la deuxième partie de la 1ère question. Merci à tous ceux qui pouront m'aider.
1. Etudier les variations de la fonction f définie sur IR par f(x) = cos(x) + x.
En déduire que l'équation (E) : cos(x) + x = 0 a une unique solution. En donner un encadrement à 10^-2 près.
2. On considère l'équation ( E ' ) : sin(x) - (x/2) = 0 avec x réel.
a. Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l'intervalle [-2 ; 2].
b. Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de ( E' ).
c. Donner un encadrement à 10^-2 près de la plus grande solution.
1. J'ai commencé par dériver f et j'ai trouvé f '(x)= 1 - sin(x).
J'en déduis que f ' est positive ou nulle sur IR donc f croissante sur IR.
Mais je ne vois pas comment en déduire que l'équation (E) admet une unique solution.
Merci.
Salut Seb!
ta fonction est continue dérivable sur IR
cos(x)+x=0 veut dire aussi que x= -cos(x); ce qui implique que x est compris entre -1 et 1 car cos(x) est toujours compris entre -1 et 1.
donc on vient de démontrer que si cette équation admet des solutions alors elles sont forcément dans [-1;1]
comme tu l'as démontré f '(x)= 1 - sin(x) d'où si tu prends l'intervalle , f'(x) >0 et ne s'annule jamais car Pi/2>1;
sur cet intervalle tu peux appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec f(1)= 1+cos(1) >0 et f(-1)= -1 +cos(-1)<0
comme ta fonction est strictement croissante sur cet intervalle alors il existe un réel a unique qui vérifie f(a)=0.
En ce qui concerne l'encadrement tu procéde par dichotomie: tu divises ton intervamlle par deux : [-1;0] et [0;1].
tu regardes à chaque fois les valeurs des images des bornes des intervalles lol en concret ça donne il faut calculer f(-1) f(0) s'ils sont de même signe et comme ta fonction est croissante c'est que a se trouve dans l'autre intervalle. S'ils sont de signe différents c'est que a se trouve entre ces deux borns là ce serait -1 et 0.
tu répètes cette opération jusqu'à avoir deux bornes dont la différence est inférieure à 10^-2.
Bon courage je pense avec cette méthode tu pourra aussi résoudre la question 2. Si t'y arrives pas ou que t'ais pas compris cette solution surtout n'hésites pas on est là pour ça !!
Fays
Bonsoir fayçal et merci beaucoup d'avoir pris le temps pour m'expliquer ce point.
Bonne soirée.