Soit la fonction définie par :
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. est-elle continue sur ?
2. est-elle dérivable sur ?
3. Déterminer la limite :
4. Montrer que pour tout réel strictement positif, on a :
5. En déduire le sens de variation de sur et dresser son tableau de variations.
6. Donner les équations des demi-tangentes à la courbe au point d’abscisse .
7. Tracer la courbe .
FIN
est la fonction définie par :
est sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Etude de la continuité de :
Pour , :
est le produit des fonctions et de .
La fonction est la composée de continue sur et de continue sur . Donc par composition, est continue sur .
Comme la fonction est continue sur , alors par produit est continue sur .
Pour :
est continue en si et seulement si
La fonction est la composée de et de .
Puisque la limite selon que tende vers par la droite ou par la gauche, alors il convient de considérer ces deux cas séparément.
Cas N° 1 : est strictement positif
On a et , on peut donc écrire par composition avec .
D’où par produit,
Cas N° 2 : est strictement négatif
De la même manière que pour le cas N° 1, on a :
et , on peut donc écrire par composition avec .
D’où par produit,
Les deux limites de à gauche et à droite de existent et sont égales à . On en déduit que est continue en zéro et .
2. Etude de la dérivabilité de :
Pour , :
est le produit des fonctions et de .
La fonction est la composée de dérivable sur et de dérivable sur . Donc par composition, est dérivable sur .
Comme la fonction est dérivable sur , alors par produit est dérivable sur .
Pour :
est dérivable en si le taux si et seulement si le taux d’accroissement admet une limite finie lorsque tend vers .
Soit un réel de . On a :
Or la limite a été calculée dans la question 1 et on a :
et
Le taux d’accroissement n’admet pas de limite lorsque tend vers (limite à droite de différente de la limite à gauche de ), par conséquent n’est pas dérivable en .
En revanche, comme les limites et existent et valent respectivement et , alors est dérivable à droite de et à gauche de .
3. Déterminer la limite :
Soit un réel strictement positif (ici on est au voisinage de
) :
On a,
Cette écriture suggère de procéder par changement de variable en posant , ainsi lorsque tend vers , tend vers par la droite et on a :
C’est en effet une limite connue et selon le contexte, vous pouvez soit donner le résultat directement soit le démontrer.
Voici une proposition de démonstration :
où . Or est dérivable sur et a fortiori en , donc le taux d’accroissement admet une limite finie en et on a,
La limite existe et est égale à . Géométriquement, on dit que la courbe admet une asymptote horizontale d’équation .
4. Montrer que pour tout réel strictement positif, on a :
Posons la fonction définie sur par :
Pour montrer l’inégalité demandée, il suffit de montrer que pour tout réel dans , .
La connaissance des variations de permet de répondre à cette question.
est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur et pour tout réel strictement positif, on a :
Donc pour tout réel strictement positif, et est strictement croissante sur .
Par ailleurs,
Or, et d’après la question 1, on en déduit que,
Et car,
car une fonction rationnelle a les mêmes limites que le quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur puis on conclut par quotient.
Et .
Comme est continue (car dérivable) et strictement croissante sur , alors et pour tout réel strictement positif, on a et par suite .
Remarque :
Comme on sait que est continue et strictement croissante sur , le calcul de la limite aura suffi pour conclure.
5. Tableau de variations de sur :
Pour connaître les variations de sur , il faudra commencer par déterminer la dérivée de puis étudier son signe.
est dérivable sur (voir question 2) et pour tout réel de on a :
On déduit grâce à la question précédente que pour tout réel dans , et est strictement croissante sur .
Par ailleurs, est paire car,
La fonction est impaire et la fonction est impaire, donc par composition, la fonction est impaire.
est définie sur et , on a .
Soit , on a :
est paire donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Puisque est strictement croissante sur , alors par symétrie, est strictement décroissante sur et .
D’où le tableau de variations de :
6. Équations des demi-tangentes à la courbe au point d’abscisse :
On a vu à la question 2 que est dérivable à droite de et à gauche de mais pas en . La courbe admet deux demi-tangentes de part et d’autres de .
Une équation de la demi-tangete à à droite de est donnée par : soit .
Une équation de la demi-tangete à à gauche de est .
7. Représentation graphique de la courbe :

FIN