Une limite classique, suites, factorielle

On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :

$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$

1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante.

2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente.

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :

$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$

4. En déduire la limite de $\displaystyle (u_n)$.

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$\displaystyle (u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :

$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$

Question 1 :

Pour montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante, il suffit de montrer que $u_{n+1}\leq u_n$. Pour ce faire, vous pouvez par exemple commencer par montrer que $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$, en veillant naturellement à justifier que l’écriture de $u_n$ au dénominateur est possible.

 

Question 2 :

Il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.

Le voici pour rappel :

(1) Toute suite croissante majorée est convergente.

(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.

 

Question 3 :

Vous pouvez faire une preuve par récurrence.

 

Question 4 :

L’idée est d’encadrer $u_n$ en partant du résultat établi à la question précédente puis déduire sa limite à l’aide du théorème des gendarmes.

 

FIN

$\displaystyle (u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :

$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$

1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante :

Pour montrer que $\displaystyle (u_n)$ est décroissante, il suffit de montrer que $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.

Pour ce faire, je propose de commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ différent de zéro, on a $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$ puis en déduire que $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.

De par sa définition, la suite $\displaystyle (u_n)$ est strictement positive, l’écriture de $u_n$ au dénominateur a donc un sens et pour tout entier naturel $n$ différent de zéro on a,

$$\begin{align}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\frac{n!}{2^n}\\\\&=2\times\frac{n!}{n!\times (n+1)}\\\\&=\frac{2}{n+1}\end{align}$$

Comme $n$ est un entier naturel différent de zéro, alors $\displaystyle n+1\geq 2$ et par suite $\displaystyle\frac{2}{n+1}\leq 1$, autrement dit $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$ et $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.

La suite $\displaystyle (u_n)$ est donc décroissante.

 

2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente :

Pour répondre à cette question, il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.

Le voici pour rappel :

(1) Toute suite croissante majorée est convergente.

(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.

 

Il est à noter que ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

La suite $\displaystyle (u_n)$ est à terme strictement positifs, elle est donc minorée par zéro.

De plus, $\displaystyle (u_n)$ est décroissante d’après la question précédente. Donc d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $\displaystyle (u_n)$ est convergente.

 

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :

$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$

Je propose une preuve par récurrence.

Vous trouverez ici et là deux articles sympa sur le raisonnement par récurrence

 

Pour $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$, on note $\mathcal{P}_n$ la propriété :

$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$

Initialisation :

La vérification de $\mathcal{P}_2$ est immédiate. En effet, on a :

$$2\times 3^{2-2}=2\leq 2!$$

 

Hérédité :

Fixons $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. On a donc :

$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$

Puisque,

$$2\times 3^{(n+1)-2}=2\times 3^{(n-2)+1}=3\times 2\times 3^{n-2}$$

Alors, grâce à $\mathcal{P}_n$ on a,

$$2\times 3^{(n+1)-2}\leq 3\times n!$$

Or ce qu’il faut montrer, c’est $\displaystyle 2\times 3^{(n+1)-2}\leq (n+1)!\,$. Donc, si j’arrive à montrer que $\displaystyle 3\times n!\leq (n+1)!\,$, j’aurais gagné !

Pour cela, je démonte que le signe de la différence $\displaystyle 3\times n!-(n+1)!$ est négatif.

On a,

$$\begin{align}3\times n!-(n+1)!&=3\times n!-n!\times(n+1)\\&=n!\times(2-n)\end{align}$$

 

Dans cette question, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, donc $2-n\leq 0$ et par suite $\displaystyle 3\times n!\leq (n+1)!$.

D’où,

$$2\times 3^{(n+1)-2}\leq (n+1)!$$

C’est exactement $\mathcal{P}_{n+1}$.

$\mathcal{P}_{n+1}$ est donc vraie.

On peut donc conclure que la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$.

C’est à dire que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$, on a $\displaystyle 2\times 3^{n+-2}\leq n!\,$.

 

REMARQUE :

Voici une autre méthode pour répondre à cette question sans utiliser le raisonnement par récurrence.

On a,

$$\begin{align}3&\leq 3\\3&\leq 4\\3&\leq 5\\\\&\cdots\\\\3&\leq n\end{align}$$

En multipliant membres à membres ces $n-2$ lignes, on obtient :

$$\underbrace{3\times 3\times 3\, \cdots\cdots \times 3}_{n-2 \text{ fois}}\leq 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$

D’où,

$$3^{n-2}\leq 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$

 

Soit en multipliant de part et d’autre de l’égalité par $2$,

$$2\times 3^{n-2}\leq 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$

Ou encore,

$$2\times 3^{n-2}\leq 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$

Finalement,

$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$

 

4. En déduire la limite de $\displaystyle (u_n)$ :

L’idée ici est de partir du résultat établi à la question précédente pour encadrer $u_n$ et déduire sa limite.

On a montré à la question précédente que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à deux, $\displaystyle 2\times 3^{n-2}\leq n!$

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à deux,

$$\frac{1}{n!}\leq\frac{1}{2\times 3^{n-2}}$$

Soit en multipliant les deux côtés de l’inégalité par $2^n$,

$$\frac{2^n}{n!}\leq\frac{2^n}{2\times 3^{n-2}}$$

Puisque,

$$\frac{2^n}{2\times 3^{n-2}}=\frac{2^n\times 3^2}{2\times 3^n}=\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

Alors,

$$u_n\leq\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

Par ailleurs, la suite $\displaystyle (u_n)$ est à terme strictement positifs. On peut donc écrire,

$$0< u_n\leq\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

Et par passage à la limite,

$$0< \lim_{n\to +\infty}u_n\leq\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$$

Comme la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$, alors d’après le théorème des gendarmes la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0\,$.

 

FIN