Enoncé
On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :
$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$
1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante.
2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente.
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :
$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$
4. En déduire la limite de $\displaystyle (u_n)$.
FIN
Indications
Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice
$\displaystyle (u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :
$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$
Question 1 :
Pour montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante, il suffit de montrer que $u_{n+1}\leq u_n$. Pour ce faire, vous pouvez par exemple commencer par montrer que $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$, en veillant naturellement à justifier que l’écriture de $u_n$ au dénominateur est possible.
Question 2 :
Il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.
Le voici pour rappel :
(1) Toute suite croissante majorée est convergente.
(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.
Question 3 :
Vous pouvez faire une preuve par récurrence.
Question 4 :
L’idée est d’encadrer $u_n$ en partant du résultat établi à la question précédente puis déduire sa limite à l’aide du théorème des gendarmes.
FIN
Corrigé
$\displaystyle (u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par :
$$u_n=\frac{2^n}{n!}$$
1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante :
Pour montrer que $\displaystyle (u_n)$ est décroissante, il suffit de montrer que $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.
Pour ce faire, je propose de commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ différent de zéro, on a $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$ puis en déduire que $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.
De par sa définition, la suite $\displaystyle (u_n)$ est strictement positive, l’écriture de $u_n$ au dénominateur a donc un sens et pour tout entier naturel $n$ différent de zéro on a,
$$\begin{align}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\frac{n!}{2^n}\\\\&=2\times\frac{n!}{n!\times (n+1)}\\\\&=\frac{2}{n+1}\end{align}$$
Comme $n$ est un entier naturel différent de zéro, alors $\displaystyle n+1\geq 2$ et par suite $\displaystyle\frac{2}{n+1}\leq 1$, autrement dit $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$ et $\displaystyle u_{n+1}\leq u_n$.
La suite $\displaystyle (u_n)$ est donc décroissante.
2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente :
Pour répondre à cette question, il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.
Le voici pour rappel :
(1) Toute suite croissante majorée est convergente.
(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.
Il est à noter que ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.
La suite $\displaystyle (u_n)$ est à terme strictement positifs, elle est donc minorée par zéro.
De plus, $\displaystyle (u_n)$ est décroissante d’après la question précédente. Donc d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $\displaystyle (u_n)$ est convergente.
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :
$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$
Je propose une preuve par récurrence.
Vous trouverez ici et là deux articles sympa sur le raisonnement par récurrence
Pour $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$, on note $\mathcal{P}_n$ la propriété :
$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$
Initialisation :
La vérification de $\mathcal{P}_2$ est immédiate. En effet, on a :
$$2\times 3^{2-2}=2\leq 2!$$
Hérédité :
Fixons $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. On a donc :
$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$
Puisque,
$$2\times 3^{(n+1)-2}=2\times 3^{(n-2)+1}=3\times 2\times 3^{n-2}$$
Alors, grâce à $\mathcal{P}_n$ on a,
$$2\times 3^{(n+1)-2}\leq 3\times n!$$
Or ce qu’il faut montrer, c’est $\displaystyle 2\times 3^{(n+1)-2}\leq (n+1)!\,$. Donc, si j’arrive à montrer que $\displaystyle 3\times n!\leq (n+1)!\,$, j’aurais gagné !
Pour cela, je démonte que le signe de la différence $\displaystyle 3\times n!-(n+1)!$ est négatif.
On a,
$$\begin{align}3\times n!-(n+1)!&=3\times n!-n!\times(n+1)\\&=n!\times(2-n)\end{align}$$
Dans cette question, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, donc $2-n\leq 0$ et par suite $\displaystyle 3\times n!\leq (n+1)!$.
D’où,
$$2\times 3^{(n+1)-2}\leq (n+1)!$$
C’est exactement $\mathcal{P}_{n+1}$.
$\mathcal{P}_{n+1}$ est donc vraie.
On peut donc conclure que la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$.
C’est à dire que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}-\{0\,,\,1\}$, on a $\displaystyle 2\times 3^{n+-2}\leq n!\,$.
REMARQUE :
Voici une autre méthode pour répondre à cette question sans utiliser le raisonnement par récurrence.
On a,
$$\begin{align}3&\leq 3\\3&\leq 4\\3&\leq 5\\\\&\cdots\\\\3&\leq n\end{align}$$
En multipliant membres à membres ces $n-2$ lignes, on obtient :
$$\underbrace{3\times 3\times 3\, \cdots\cdots \times 3}_{n-2 \text{ fois}}\leq 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$
D’où,
$$3^{n-2}\leq 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$
Soit en multipliant de part et d’autre de l’égalité par $2$,
$$2\times 3^{n-2}\leq 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$
Ou encore,
$$2\times 3^{n-2}\leq 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times \cdots\cdots \times n$$
Finalement,
$$2\times 3^{n-2}\leq n!$$
4. En déduire la limite de $\displaystyle (u_n)$ :
L’idée ici est de partir du résultat établi à la question précédente pour encadrer $u_n$ et déduire sa limite.
On a montré à la question précédente que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à deux, $\displaystyle 2\times 3^{n-2}\leq n!$
On en déduit que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à deux,
$$\frac{1}{n!}\leq\frac{1}{2\times 3^{n-2}}$$
Soit en multipliant les deux côtés de l’inégalité par $2^n$,
$$\frac{2^n}{n!}\leq\frac{2^n}{2\times 3^{n-2}}$$
Puisque,
$$\frac{2^n}{2\times 3^{n-2}}=\frac{2^n\times 3^2}{2\times 3^n}=\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$
Alors,
$$u_n\leq\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$
Par ailleurs, la suite $\displaystyle (u_n)$ est à terme strictement positifs. On peut donc écrire,
$$0< u_n\leq\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n$$
Et par passage à la limite,
$$0< \lim_{n\to +\infty}u_n\leq\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$$
Comme la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{9}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$, alors d’après le théorème des gendarmes la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0\,$.
FIN
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.