Calcul d’une limite avec partie entière

Tout d’abord, pardon pour cette longue absence. Durant ces quinze derniers jours, j’étais très occupé par mon travail quotidien. La rentrée est synonyme de lancement de nouveaux projets dans les entreprises

Je reprends le fil et je propose cet exercice qui consiste à calculer une limite avec partie entière.

 

RAPPELS :

La partie entière (par défaut) d’un nombre réel $x$ est l’unique entier relatif $n$ (positif, négatif ou nul) tel que :

$$n\leq x<n+1$$

La partie entière du réel $x$ se note $E(x)$ dans le secondaire ou $\lfloor x\rfloor$ dans le supérieur.

L’inégalité ci-dessus s’écrit alors,

$E(x)\leq x<E(x)+1,\quad$notons (A) cette relation

Nous avons également pour tout réel $x$, on a :

$E(-x)=-E(x)-1,\quad$notons (B) cette relation.

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Exercice :

Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=xE\left(x-\frac{1}{x}\right)$$

Calculer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$.

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cette question

 

L’idée ici est de commencer par calculer la limite de $f$ à droite de $0$ puis à gauche de $0$ et montrer que ces deux limites existent et sont égales puis conclure.

 

Pour le calcul de la limite de $f$ à droite de $0$, vous pouvez par exemple commencer par remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un unique entier naturel $n$ tel que $\displaystyle n\leq\frac{1}{x}<n+1$, et construire l’expression de $f$ petit à petit.

 

Pour le calcul de la limite de $f$ à gauche de $0$, vous pouvez soit raisonner de manière similaire à la limite à droite de $0$ en adaptant l’approche, soit utiliser la propriété rappelée dans l’énoncé qui consiste à dire que pour tout réel $x$, on a $\displaystyle E(-x)=-E(x)-1$.

 

Bon travail !

$f$ est la fonction définie par :

$$f(x)=xE\left(x-\frac{1}{x}\right)$$

Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$.

Avant de procéder au calcul de cette limite, je propose de regarder comment se comporte la fonction $f$ au voisinage de $0$.

Pour ce faire, prenons $\displaystyle x=\frac{1}{p}$ où $p$ est un entier naturel différent de $0$ et de $1$. De toute façon, pour que $x$ soit très petit, $p$ doit être très grand. Donc, $p$ tendant vers $+\infty$ convient

Ainsi,

$$\begin{align}f\left(\frac{1}{p}\right)&=\frac{1}{p}\times E\left(\frac{1}{p}-p\right)\\&=\frac{1}{p}\times (-p)\\&=-1\end{align}$$

D’autre part, si $\displaystyle x=-\frac{1}{p}$ avec toujours $p$ entier naturel différent de $0$ et de $1$, alors on a,

$$\begin{align}f\left(-\frac{1}{p}\right)&=-\frac{1}{p}\times E\left(-\frac{1}{p}+p\right)\\&=-\frac{1}{p}(p-1)\\&=-1+\frac{1}{p}\end{align}$$

La quantité $\displaystyle\left(-1+\frac{1}{p}\right)$ tend vers $-1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

Donc, a priori la fonction $f$ admet une limite en zéro et cette limite serait égale à $-1$.

 

PREUVE :

Je propose de procéder comme dans l’approche à tâtons ci-dessus, c’est à dire :

1/ Evaluer la limite de $f$ à droite de $0$.

2/ Evaluer la limite de $f$ à gauche de $0$.

3/ Montrer que ces deux limites sont égales puis conclure.

C’est parti

 

Soit $x$ un réel strictement positif.

Il existe donc un unique entier naturel $n$ tel que :

$$n\leq\frac{1}{x}<n+1$$

En fait, ici $n$ n’est autre que la partie entière de $\displaystyle\frac{1}{x}$. Et on retrouve en effet en quelque sorte l’inégalité (A) rappelée plus haut :

$$\forall x>0\,,\qquad E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1}{x}<E\left(\frac{1}{x}\right)+1$$

Revenons à notre inégalité que l’on peut écrire,

$$\frac{1}{n}\geq x>\frac{1}{n+1}$$

Ou encore,

$$\frac{1}{n+1}<x\leq \frac{1}{n}$$

Par ailleurs, en multipliant les membres de l’inégalité $\displaystyle n\leq\frac{1}{x}<n+1$ par $-1$, on obtient,

$$-n-1<-\frac{1}{x}\leq -n$$

Puis, en additionnant cette inégalité et la précédente, on obtient,

$$\frac{1}{n+1}+(-n-1)<x-\frac{1}{x}\leq -n+\frac{1}{n}$$

Soit,

$$-n-\frac{n}{n+1}<x-\frac{1}{x}\leq -n+\frac{1}{n}$$

Ce qui nous permet de déduire que $\displaystyle E\left(x-\frac{1}{x}\right)$ vaut soit $-n$, soit $-n-1$.

D’où l’encadrement,

$$-n-1\leq E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq -n$$

L’idée maintenant est reconstituer l’expression de $f$ en multipliant cette inégalité par celle démontrée plus haut, à savoir, $\displaystyle\frac{1}{n+1}<x\leq\frac{1}{n}$ pour tout réel $x>0$.

Mais attention avant de procéder à la multiplication car les membres de l’inégalité $\displaystyle -n-1\leq E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq -n$ sont négatifs. Il faut donc d’abord les multiplier par $-1$

Soit,

$$n\leq -E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq n+1$$

Et par suite,

$$\frac{n}{n+1}\leq -x\,E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq\frac{n+1}{n}$$

D’après la relation $\displaystyle n\leq\frac{1}{x}<n+1$, le fait de faire tendre $x$ vers $0$ par la droite fait tendre $n$ vers $+\infty$, autrement dit $x\to 0^+\quad\Leftrightarrow\quad n\to +\infty$

Comme $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n}=1$, alors $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}-x\,E\left(x-\frac{1}{x}\right)=1$.

Puis,

$$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}x\,E\left(x-\frac{1}{x}\right)=-1$$

 

Pour la limite de $f$ à gauche de $0$, je propose d’utiliser la propriété (B) rappelée plus haut, à savoir que pour tout réel $x$, on a :

$$E(-x)=-E(x)-1,\qquad$$

Donc pour tout réel $x<0$,

$$\begin{align}f(x)&=x\,E\left(x-\frac{1}{x}\right)\\&=x\left(-E\left(-x+\frac{1}{x}\right)-1\right)\\&=(-x)E\left((-x)-\frac{1}{-x}\right)-x\\&=f(-x)-x\end{align}$$

Or ici : $-x$ est strictement positif. On peut donc utiliser le fait que $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(-x)=-1$.

D’où,

$$\begin{align}\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)&=\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}(f(x)-x)\\&=-1-0\\&=-1\end{align}$$

Les deux limites de $f$ à gauche de $0$ et à droite de $0$ existent et sont égales. Par conséquent, $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=-1$.

 

FIN