Suites, factorielle, inégalités, monotonie

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$

 

1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$

 

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :

$$2^n\,n!\leq n^{n+1}$$

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$

 

Question 1 :

Le raisonnement par récurrence ne fonctionne malheureusement pas ici ! En revanche, vous pouvez utiliser la formule du binôme de Newton.

 

Question 2 :

Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante, il suffit de montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$u_{n+1}>u_n$$

Pour ce faire, vous pouvez par exemple commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$$

En justifiant naturellement que $u_n$ ne s’annule pas, et penser à utiliser le résultat de la question précédente pour conclure

 

Question 3 :

La clé de cette question consiste à utiliser la monotonie de la suite $(u_n)$ établie à la question précédente ainsi que le fait que toute suite croissante est supérieure ou égale à son premier terme ;-).

Bon travail !

$(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$

 

1. Montrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a :

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$

On pourrait penser à faire une démonstration par récurrence. C’est une initiative naturelle. Néanmoins la présence de la quantité $\displaystyle\frac{1}{n}$ à l’intérieur de la parenthèse rend l’affaire compliquée voire impossible.

La façon dont est présentée la quantité $\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ suggère d’utiliser la formule du binôme de Newton, que voici pour rappel :

Soient $x$ et $y$ deux réels, et $n$ un entier naturel non nul.

On a, $\displaystyle (x+y)^n=\sum_{p=0}^n \binom{n}{p}\,x^{n-p} y^p\,$, où la quantité $\displaystyle\binom{n}{p}$ désigne les coefficients binomiaux.

On appelle coefficients binomiaux l’ensemble des nombres : $\displaystyle\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}\,$, avec $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls tel que $p\leq n$.

 

Ainsi, en appliquant la formule du binôme de Newton, on a :

$$\begin{align}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}&=\sum_{p=0}^{n+1}\binom{n+1}{p} 1^{n-p}\,\left(\frac{1}{n}\right)^p\\\\&=\sum_{p=0}^{n+1}\binom{n+1}{p} \left(\frac{1}{n}\right)^p\\\\&=\binom{n+1}{0}\left(\frac{1}{n}\right)^0+\binom{n+1}{1}\left(\frac{1}{n}\right)+\sum_{p=2}^{n+1}\binom{n+1}{p} \left(\frac{1}{n}\right)^p\end{align}$$

Or,

$$\begin{align}\binom{n+1}{0}&=\frac{(n+1)!}{0!\,(n+1)!}\\&=1\end{align}$$

Et,

$$\begin{align}\binom{n+1}{1}&=\frac{(n+1)!}{1!\,n!}\\&=\frac{n!\times (n+1)}{n!}\\&=n+1\end{align}$$

D’où,

$$\begin{align}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}&=1+\frac{n+1}{n}+\sum_{p=2}^{n+1}\binom{n+1}{p} \left(\frac{1}{n}\right)^p\\\\&=2+\frac{1}{n}+\sum_{p=2}^{n+1}\binom{n+1}{p} \left(\frac{1}{n}\right)^p\end{align}$$

Puisque $\displaystyle\sum_{p=2}^{n+1}\binom{n+1}{p} \left(\frac{1}{n}\right)^p$ est strictement positive, alors on en déduit que,

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2+\frac{1}{n}$$

Et par suite,

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$

 

Finalement, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$.

 

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante :

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ par :

$$u_n=\frac{n^{n+1}}{2^n\,n!}$$

Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante, il suffit de montrer que $u_{n+1}>u_n$.

Pour ce faire, je propose de commencer par montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ puis en déduire que $u_{n+1}>u_n$.

De part sa construction, la suite $(u_n)$ est strictement positive et on a pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\begin{align}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{(n+1)^{n+2}}{2^{n+1}\,(n+1)!}\times\frac{2^n\,n!}{n^{n+1}}\\&=\frac{(n+1)\times(n+1)^{n+1}\times2^n\times n!}{2\times 2^n\times (n+1)!\times n^{n+1}}\\&=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}\times\frac{(n+1)\times n!}{(n+1)!}\times\frac{2^n}{2\times 2^n}\\&=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\times\frac{(n+1)!}{(n+1)!}\times\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\times\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\end{align}$$

 

Or d’après le résultat établi à la question précédente, on a pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>2$$

On en déduit que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$$

Autrement dit,

$$\forall n\geq 2\,,\quad u_{n+1}>u_n$$

Finalement, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

 

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a :

$$2^n\,n!\leq n^{n+1}$$

Puisque la suite $(u_n)$ est strictement croissante, alors pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, $u_n$ est supérieure ou égale à son premier terme $u_2$, c’est à dire,

$$u_n\geq u_2$$

Puisque,

$$\begin{align}u_2&=\frac{2^{3}}{2^2\times 2!}\\&=1\end{align}$$

Alors pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a,

$$\frac{n^{n+1}}{2^n\times n!}\geq 1$$

Et par suite, $\displaystyle n^{n+1}\geq 2^n\times n!$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$.

 

FIN