- Enoncé
- Indications
- Corrigé
Enoncé
Soient
1. Montrer que
2. Soit
2.1 Montrer que
2.2 Déterminer le signe de
3. En déduire qu’il existe un unique réel
FIN
Indications
Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice
Question 1 :
Montrer que
Pour répondre rigoureusement à cette question, il faudra connaître la définition de la continuité sur un intervalle fermé.
CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE – RAPPEL :
Soient
et deux réels et soit une fonction définie sur l’intervalle . Conventionnellement, on dit que
est continue sur l’intarvalle si les trois conditions suivantes sont vérifiées : (1)
est continue en tout point de l’intervalle ouvert (2)
est continue à droite de , c’est à dire que (3)
est continue à gauche de , c’est à dire que (Naturellement, les limites
et doivent exister )
Puis, il faudra montrer que
Une autre méthode consiste à utiliser la définition de la continuité avec les quantificateurs (méthode connue aussi sous le nom de « epsilon-delta »), mais tout le monde n’est pas à l’aise avec cette méthode
Question 2.1 :
Montrer que
Il faudra évaluer le taux d’accroissement de
Question 3 :
Existence d’un unique réel
La formulation de la question suggère d’utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (connu également sous le nom du théorème de la bijection).
Rappel du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) :
Soit
une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle . Alors pour tout réel
compris entre et , l’équation admet une solution unique dans .
Vous pouvez par exemple commencer par appliquer ce théorème à la fonction
FIN
Corrigé
1. est continue sur :
Pour répondre à cette question, il faudra utiliser la définition de la continuité sur un intervalle fermé.
CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE – RAPPEL :
Soient
et deux réels et soit une fonction définie sur l’intervalle . Conventionnellement, on dit que
est continue sur l’intarvalle si les trois conditions suivantes sont vérifiées : (1)
est continue en tout point de l’intervalle ouvert (2)
est continue à droite de , c’est à dire que (3)
est continue à gauche de , c’est à dire que (Naturellement, les limites
et doivent exister )
Ainsi, si on démontre que
(1)
Soit
D’après la définition de
C’est à dire,
Puisque,
Alors d’après le théorème des gendarmes,
Et par suite,
On en déduit que
(2)
On utilise à nouveau la définition de
Puisque,
Alors d’après le théorème des gendarmes,
Et par suite,
(3)
Pour ce faire, il suffit de procéder de la même façon que pour la continuité à droite de
En effet, on a,
Puisque,
Alors d’après le théorème des gendarmes,
Et par suite,
Finalement,
est continue sur l’intervalle .
REMARQUE :
Une autre méthode consiste à utiliser la définition de la continuité avec les quantificateurs (connue aussi sous le nom de « epsilon-delta »), mais tout le monde n’est pas à l’aise avec cette méthode
Soit
Pour
Cela montre que
2. Soit la fonction définie pour tout réel de par :
2.1 est strictement décroissante sur :
L’idée ici est d’évaluer le taux d’accroissement de
Soient
Le taux d’accroissement de
Or d’après la définition de
Comme dans cette question on a
Et on en déduit que,
est donc strictement décroissante sur .
2.2 Signe de :
On commence par évaluer la quantité
On a,
On sait d’après la question 1 que
On voit aisément que le fait d’avoir
Finalement,
.
3. Existence d’un unique réel dans tel que :
La façon dont cette question est formulée suggère l’utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (connu également sous le nom du théorème de la bijection).
Rappel du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) :
Soit
une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle . Alors pour tout réel
compris entre et , l’équation admet une solution unique dans .
Ici, il faudra commencer d’abord par appliquer ce corollaire à
On sait que
Puisque
De plus, on a montré à la question 2.b que
Et par suite, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
Finalement, comme
, alors il existe un unique réel tel que .
FIN
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Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
et oui c’est le cas particulier de . C’est la fonction Lipschitzienne et c’est très fort car elle aide sur le calcul des des limites des suites récurrentes .