Théorème des valeurs intermédiaires, continuité

Enoncé

Soient a et b deux réels tels que ab et f l’application de [a;b] dans [a;b] définie par :

 

{f([a;b][a;b])(x;y)[a;b]×[a;b],|f(x)f(y)|<|xy|

 

1. Montrer que f est continue sur [a;b].

2. Soit g la fonction définie pour tout réel x de [a;b] par :

g(x)=f(x)x

2.1 Montrer que g est strictement décroissante sur [a;b].

2.2 Déterminer le signe de g(a)g(b).

3. En déduire qu’il existe un unique réel α appartenant à [a;b] tel que f(α)=α.

 

FIN

Indications

Corrigé

1 réflexion sur “Théorème des valeurs intermédiaires, continuité”

  1. et oui c’est le cas particulier de k=1. C’est la fonction Lipschitzienne et c’est très fort car elle aide sur le calcul des des limites des suites récurrentes un+1=f(un).

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