Enoncé
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$
1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant :
$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$
2. Montrer que pour tout réel $x$, on a :
$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$
3. En déduire que pour tout réel $x$ :
$$x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$
4. Établir que pour tout réel $x$, on a :
$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$
FIN
Indications
Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$
Question 1 :
Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant :
$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$
Vous pouvez par exemple scinder cet encadrement en deux inégalités :
1/ Un rappel de l’intervalle que décrit la fonction $x\mapsto\arctan(x)$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}$ vous aidera à établir que pour tout réel $x$, $\displaystyle f(x)<\frac{\pi}{2}$.
2/ Pour établir que pour tout réel $x$, $0<f(x)$, il suffit de montrer que la quantité $\displaystyle\sqrt{1+x^2}-x$ est strictement négative.
Car en effet, la fonction $t\mapsto\arctan(t)$ est positive ou nulle sur $[0\,;\,+\infty[$ et négative ou nulle sur $]-\infty\,;\,0$.
Question 2 :
Montrer que pour tout réel $x$, on a :
$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$
Il faudra utiliser le résultat établit à la question précédente en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.
Vous pouvez par exemple commencer par :
$$\begin{align}f(x)&=\cdots\\\tan(f(x))&=\cdots\end{align}$$
Question 3 :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$
Là aussi, il faudra utiliser le résultat établit à la question précédente en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.
Vous pouvez par exemple commencer par :
$$\begin{align}\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2x\tan(f(x))&=1-\tan^2(f(x))\\x&=\cdots\end{align}$$
Puis vous appuyer successivement sur les deux formules trigonométriques suivantes pour conclure :
$\displaystyle\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}$ et $\displaystyle\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan(x)}$
Question 4 :
Montrer que pour tout réel $x$,
$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$
Dans cette question aussi, l’idée est d’utiliser le résultat établi à la question précédente, toujours en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.
Vous pouvez par exemple commencer par écrire que pour tout réel $x$,
$$\begin{align}x&=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)\\\arctan(x)&=\cdots\end{align}$$
FIN
Corrigé
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$
1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a :
$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$
De par sa définition, on sait que pour tout réel $X$, la fonction $\displaystyle X\mapsto\arctan(X)$ prend ses valeurs dans l’intervalle $\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.
On a donc,
$$\forall X\in\mathbb{R}\,,\quad -\frac{\pi}{2}<\arctan(X)<\frac{\pi}{2}$$
On a donc démontré la partie droite de l’encadrement, c’est à dire que pour tout réel $x$, $\displaystyle f(x)<\frac{\pi}{2}$.
On procède de la façon suivante pour démontrer la partie gauche, c’est dire que pour tout réel $x$, on a $0<f(x)$ :
On a :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 1+x^2 > x^2$$
C’est à dire que :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad \sqrt{1+x^2} > |x|$$
Qui n’est autre que,
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad |x| < \sqrt{1+x^2}$$
Puisque pour tout réel $x$, on a $x\leq |x|$, alors :
$$x\leq |x| < \sqrt{1+x^2}$$
Et par suite,
$$\sqrt{1+x^2}-x> 0$$
D’où pour tout réel $x$,
$$\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)> 0$$
(car la fonction $x\mapsto\arctan(x)$ est positive ou nulle sur $[0\,;\,+\infty[$ et négative ou nulle sur $]-\infty\,;\,0]$).
Finalement, pour tout réel $x$, on a $\displaystyle 0<f(x)<\frac{\pi}{2}\,$.
2. Montrer que pour tout réel $x$, on a :
$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$
Les écritures $\displaystyle\tan(f(x))$ et $\displaystyle\tan^2(f(x))$ ont un sens car d’après le résultat établi à la question précédente, les valeurs de $f$ sont dans l’intervalle $\displaystyle\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ qui est inclus dans $\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.
On a donc,
$$\begin{align}f(x)&=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\text{ et }0< f(x)<\frac{\pi}{2}\\\tan(f(x))&=\sqrt{1+x^2}-x\\x+\tan(f(x))&=\sqrt{1+x^2}\end{align}$$
Soit en élevant au carré les deux membres de l’égalité,
$$\begin{align}x^2+2x\tan(f(x))+\tan^2(f(x))&=1+x^2\\2x\tan(f(x))&=1-\tan^2(f(x))\end{align}$$
Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle 2x\tan(f(x))=1-\tan^2(f(x))\,$.
3. En déduire l’égalité :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$
On a d’après le résultat établi à la question précédente :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2x\tan(f(x))=1-\tan^2(f(x))$$
Comme $\displaystyle 0<f(x)<\frac{\pi}{2}$ pour tout réel $x$, en particulier $\displaystyle f(x)\neq 0$ et $\displaystyle f(x)\neq\frac{\pi}{2}$, alors on peut écrire :
$$x=\frac{1-\tan^2(f(x))}{2\tan(f(x))}$$
Et grâce à l’égalité,
$$\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}\,,\quad a\in\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[-\{-\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{\pi}{4}\}$$
On a,
$$x=\frac{1}{\tan(2f(x))}\,,\quad\text{si }x\neq 0$$
En effet, comme $f$ décrit l’intervalle $\displaystyle\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$, l’écriture $\tan\left(2f(0)\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ n’a aucun sens.
Il faut donc examiner le cas $x\neq 0$ puis le cas $x=0$.
À l’aide de l’égalité :
$$\begin{align}\tan\left(\frac{\pi}{2}-c\right)&=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-c\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-c\right)}\,\quad c\in]0\,;\,\pi[\\\\&=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(c)-\sin(c)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(c)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(c)}\\\\&=\frac{\cos(c)}{\sin(c)}\\\\&=\frac{1}{\tan(c)}\,,\quad c\in\left]0\,;\,\pi\right[-\{\frac{\pi}{2}\}\end{align}$$
On a,
$$x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)\,\quad x\neq 0$$
Si $x=0$, on a $\displaystyle f(0)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ et par suite,
$$\begin{align}\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(0)\right)&=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2\times\frac{\pi}{4}\right)\\&=\tan(0)\\&=0\end{align}$$
L’égalité $\displaystyle x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$ est également vraie pour $x=0$. Elle est donc vraie pour tout réel $x$.
Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$
4. Établir que pour tout réel $x$, on a :
$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$
D’après le résultat établi à la question 1, on a :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$
On en déduit en multipliant les membres de l’inégalité ci-dessous par $-2$,
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad -\pi<-2f(x)<0$$
Puis,
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad -\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}-2f(x)<\frac{\pi}{2}$$
Par ailleurs, on a d’après le résultat établit à la question précédente :
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$
D’où,
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad\arctan(x)=\frac{\pi}{2}-2f(x)$$
Autrement dit,
$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)$$
Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$.
FIN
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.