Autour de l’arctangente

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$

 

1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant :

$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$

 

2. Montrer que pour tout réel $x$, on a :

$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$

 

3. En déduire que pour tout réel $x$ :

$$x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$

 

4. Établir que pour tout réel $x$, on a :

$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$

 

Question 1 :

Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a l’encadrement suivant :

$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$

Vous pouvez par exemple scinder cet encadrement en deux inégalités :

1/ Un rappel de l’intervalle que décrit la fonction $x\mapsto\arctan(x)$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}$ vous aidera à établir que pour tout réel $x$, $\displaystyle f(x)<\frac{\pi}{2}$.

2/ Pour établir que pour tout réel $x$, $0<f(x)$, il suffit de montrer que la quantité $\displaystyle\sqrt{1+x^2}-x$ est strictement négative.

Car en effet, la fonction $t\mapsto\arctan(t)$ est positive ou nulle sur $[0\,;\,+\infty[$ et négative ou nulle sur $]-\infty\,;\,0$.

 

Question 2 :

Montrer que pour tout réel $x$, on a :

$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$

Il faudra utiliser le résultat établit à la question précédente en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.

Vous pouvez par exemple commencer par :

$$\begin{align}f(x)&=\cdots\\\tan(f(x))&=\cdots\end{align}$$

 

Question 3 :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$

Là aussi, il faudra utiliser le résultat établit à la question précédente en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.

Vous pouvez par exemple commencer par :

$$\begin{align}\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2x\tan(f(x))&=1-\tan^2(f(x))\\x&=\cdots\end{align}$$

Puis vous appuyer successivement sur les deux formules trigonométriques suivantes pour conclure :

$\displaystyle\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}$ et $\displaystyle\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan(x)}$

 

Question 4 :

Montrer que pour tout réel $x$,

$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$

Dans cette question aussi, l’idée est d’utiliser le résultat établi à la question précédente, toujours en justifiant soigneusement chaque étape du raisonnement.

Vous pouvez par exemple commencer par écrire que pour tout réel $x$,

$$\begin{align}x&=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)\\\arctan(x)&=\cdots\end{align}$$

 

FIN

$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$$

 

1. Sans étudier les variations de la fonction $f$, montrer que pour tout réel $x$, on a :

$$0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$

De par sa définition, on sait que pour tout réel $X$, la fonction $\displaystyle X\mapsto\arctan(X)$ prend ses valeurs dans l’intervalle $\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.

On a donc,

$$\forall X\in\mathbb{R}\,,\quad -\frac{\pi}{2}<\arctan(X)<\frac{\pi}{2}$$

On a donc démontré la partie droite de l’encadrement, c’est à dire que pour tout réel $x$, $\displaystyle f(x)<\frac{\pi}{2}$.

On procède de la façon suivante pour démontrer la partie gauche, c’est dire que pour tout réel $x$, on a $0<f(x)$ :

On a :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 1+x^2 > x^2$$

C’est à dire que :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad \sqrt{1+x^2} > |x|$$

Qui n’est autre que,

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad |x| < \sqrt{1+x^2}$$

Puisque pour tout réel $x$, on a $x\leq |x|$, alors :

$$x\leq |x| < \sqrt{1+x^2}$$

Et par suite,

$$\sqrt{1+x^2}-x> 0$$

D’où pour tout réel $x$,

$$\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)> 0$$

(car la fonction $x\mapsto\arctan(x)$ est positive ou nulle sur $[0\,;\,+\infty[$ et négative ou nulle sur $]-\infty\,;\,0]$).

Finalement, pour tout réel $x$, on a $\displaystyle 0<f(x)<\frac{\pi}{2}\,$.

 

2. Montrer que pour tout réel $x$, on a :

$$1-\tan^2(f(x))=2x\tan(f(x))$$

Les écritures $\displaystyle\tan(f(x))$ et $\displaystyle\tan^2(f(x))$ ont un sens car d’après le résultat établi à la question précédente, les valeurs de $f$ sont dans l’intervalle $\displaystyle\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ qui est inclus dans $\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$.

On a donc,

$$\begin{align}f(x)&=\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\text{ et }0< f(x)<\frac{\pi}{2}\\\tan(f(x))&=\sqrt{1+x^2}-x\\x+\tan(f(x))&=\sqrt{1+x^2}\end{align}$$

Soit en élevant au carré les deux membres de l’égalité,

$$\begin{align}x^2+2x\tan(f(x))+\tan^2(f(x))&=1+x^2\\2x\tan(f(x))&=1-\tan^2(f(x))\end{align}$$

Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle 2x\tan(f(x))=1-\tan^2(f(x))\,$.

 

3. En déduire l’égalité :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$

On a d’après le résultat établi à la question précédente :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2x\tan(f(x))=1-\tan^2(f(x))$$

Comme $\displaystyle 0<f(x)<\frac{\pi}{2}$ pour tout réel $x$, en particulier $\displaystyle f(x)\neq 0$ et $\displaystyle f(x)\neq\frac{\pi}{2}$, alors on peut écrire :

$$x=\frac{1-\tan^2(f(x))}{2\tan(f(x))}$$

Et grâce à l’égalité,

 

$$\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}\,,\quad a\in\left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[-\{-\frac{\pi}{4}\,;\,\frac{\pi}{4}\}$$

On a,

$$x=\frac{1}{\tan(2f(x))}\,,\quad\text{si }x\neq 0$$

En effet, comme $f$ décrit l’intervalle $\displaystyle\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$, l’écriture $\tan\left(2f(0)\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ n’a aucun sens.

Il faut donc examiner le cas $x\neq 0$ puis le cas $x=0$.

À l’aide de l’égalité :

$$\begin{align}\tan\left(\frac{\pi}{2}-c\right)&=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-c\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-c\right)}\,\quad c\in]0\,;\,\pi[\\\\&=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(c)-\sin(c)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(c)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(c)}\\\\&=\frac{\cos(c)}{\sin(c)}\\\\&=\frac{1}{\tan(c)}\,,\quad c\in\left]0\,;\,\pi\right[-\{\frac{\pi}{2}\}\end{align}$$

On a,

$$x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)\,\quad x\neq 0$$

 

Si $x=0$, on a $\displaystyle f(0)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ et par suite,

$$\begin{align}\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(0)\right)&=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2\times\frac{\pi}{4}\right)\\&=\tan(0)\\&=0\end{align}$$

L’égalité $\displaystyle x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$ est également vraie pour $x=0$. Elle est donc vraie pour tout réel $x$.

 

Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$

 

4. Établir que pour tout réel $x$, on a :

$$f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$$

D’après le résultat établi à la question 1, on a :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 0<f(x)<\frac{\pi}{2}$$

On en déduit en multipliant les membres de l’inégalité ci-dessous par $-2$,

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad -\pi<-2f(x)<0$$

Puis,

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad -\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}-2f(x)<\frac{\pi}{2}$$

 

Par ailleurs, on a d’après le résultat établit à la question précédente :

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-2f(x)\right)$$

D’où,

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad\arctan(x)=\frac{\pi}{2}-2f(x)$$

Autrement dit,

$$\forall x\in\mathbb{R}\,,\quad 2f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)$$

Finalement, pour tout réel $x$, on a : $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arctan(x)$.

 

FIN