Partie I

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, tels que $a^3+b^3$ est divisible par $173$.

On notera que $173$ est un nombre premier.

1. Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}\quad [173]$. (On remarquera que $171=3\times 57$).

2. Montrer que $a$ est divisible par $173$ si et seulement si $b$ est divisible par $173$.

3. On suppose que $a$ est divisible par $173$. Montrer que $a+b$ est divisible par $173$.

4. On suppose que $a$ n’est pas divisible par $173$.

4.1 À l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que : $a^{172}\equiv b^{172}\quad [173]$.

4.2 Montrer que : $a^{171}(a+b)\equiv 0\quad [173]$.

4.3 En déduire que : $a+b$ est divisible par $173$.

 

Partie II

Dans $\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$, on considère l’équation $(E)$ suivante :

(E) $\quad\displaystyle x^3+y^3=173(xy+1)$

Soit $(x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ solution de l’équation (E).

On pose : $x+y=173k$ où $k$ est un entier naturel non nul.

1. Vérifier que : $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$.

2. Montrer que $k=1$ puis résoudre l’équation (E).

 

FIN

Dans tout l’exercice, $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, tels que $a^3+b^3$ est divisible par $173$.

1. $a^{171}$ est congru à $-b^{171}$ modulo $[173]$ :

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, tels que $a^3+b^3$ est divisible par $173$. Cela signifie que : $\displaystyle a^3+b^3\equiv 0\quad [173]$, c’est à dire que $\displaystyle a^3\equiv -b^3\quad [173]$.

---

À l’aide de la propriété suivante sur les congruences :

Soient $n$ un entier naturel non nul et $x$, $y$ deux entiers relatifs.

Pour tout entier naturel $k$, si $x\equiv y\quad [n]$ alors $x^k\equiv y^k\quad [n]$.

---

On en déduit que :

$$(a^3)^{57}\equiv (-b^3)^{57}\quad [173]$$

C’est à dire :

$$a^{171}\equiv -b^{171}\quad [173]$$

$a^{171}$ est congru à $-b^{171}$ modulo $173$.

 

2. $a$ est divisible par $173$ si et seulement si $b$ est divisible par $173$ :

 

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. On va faire une preuve en deux temps.

Sens direct :

Supposons que $a$ est divisible par $173$ et montrons que $b$ est divisible par $173$.

---

On rappelle la propriété suivante :

Soient $a$, $b$, $a’$ et $b’$ quatre entiers relatifs et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Si $a\equiv b\quad [n]$ et $a’\equiv b’\quad [n]$ alors $a-a’\equiv b-b’\quad [n]$.

---

$a$ est divisible par $173$ signifie que $\displaystyle a\equiv 0\quad [173]$, c’est à dire, $\displaystyle a^3\equiv 0\quad [173]$.

On sait d’après l’énoncé que $\displaystyle a^3+b^3$ est divisible par $173$, donc $\displaystyle a^3+b^3\equiv 0\quad [173]$.

Soit en regroupant :

$$\begin{cases}a^3+b^3&\equiv 0\quad [173]\\a^3&\equiv 0\quad [173]\end{cases}$$

Et d’après la propriété rappelée ci-dessus, on a $\displaystyle (a^3+b^3)-a^3\equiv 0\quad [173]$, soit $b^3\equiv 0\quad [173]$ et par suite $b\equiv 0\quad [173]$ car $173$ est premier (Si $a$ est premier et divise $b^n$, alors $a$ divise $b$).

Donc si $a$ est divisible par $173$ alors $b$ est divisible par $173$.

 

Sens réciproque :

On raisonne de la même façon que le sens direct car ici $a$ et $b$ jouent le même rôle et on a :

$b$ est divisible par $a$ signifie que $\displaystyle b\equiv 0\quad [173]$, c’est à dire que $\displaystyle b^3\equiv 0\quad [173]$ puis $\displaystyle (a^3+b^3)-b^3\equiv 0\quad [173]$ d’où $\displaystyle a^3\equiv 0\quad [173]$ et $\displaystyle a\equiv 0\quad [173]$.

Ainsi, si $b$ est divisible par $173$, alors $a$ est aussi divisible par $173$.

$a$ est divisible par $173$ si et seulement si $b$ est divisible par $173$.

 

3. On suppose que $a$ est divisible par $173$. Montrer que $a+b$ est divisible par $173$ :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

Dans cette question, on suppose que $a$ est divisible par $173$.

$b$ est aussi divisible par $173$ d’après le résultat établi à la question précédente.

Comme la congruence est compatible avec la somme alors, $a+b$ est divisible par $173$.

Si $a$ est divisible par $173$, alors $a+b$ est aussi divisible par $173$.

---

Compatibilité de la congruence avec la somme (Rappel) :

Soient $a$, $b$, $a’$ et $b’$ quatre entiers relatifs et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Si $\displaystyle a\equiv b\quad [n]$ et $\displaystyle a’\equiv b’\quad [n]$, alors $\displaystyle a+a’\equiv b+b’\quad [n]$.

---

4. On suppose que $a$ n’est pas divisible par $173$.

4.1 Montrer que : $a^{172}\equiv b^{172}\quad [173]$ :

L’énoncé propose de démontrer ce résultat à l’aide du petit théorème de Fermat.

---

Petit théorème de Fermat (Rappel) :

Si $p$ est un entier naturel premier et $a$ un entier premier avec $p$, alors $\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0\quad [p]$.

---

Comme $173$ est un entier naturel premier et $a$ et $173$ sont premiers entre eux car $173$ ne divise par $a$, alors d’après le petite théorème de Fermat, on a :

$$a^{173-1}-1\equiv 0\quad [173]$$

On en déduit que :

$$a^{172}\equiv 1\quad [173]$$

Par ailleurs, dire que $a$ n’est pas divisible par $173$ signifie que $b$ n’est pas divisible non plus par $173$ d’après le résultat établi à la question 2, et on a d’après le petit théorème de Fermat :

$$b^{172}\equiv 1\quad [173]$$

 

On en déduit que, $\displaystyle a^{172}\equiv b^{172}\quad [173]$

Finalement, si $a$ n’est pas divisible par $173$, alors $a^{172}$ est congru à $b^{172}$ modulo $173$.

 

4.2 Montrer que : $a^{171}(a+b)\equiv 0\quad [173]$ :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

On a établit à la question 1 que :

$$a^{171}\equiv -b^{171}\quad [173]$$

On en déduit que :

$$-a^{171}\equiv b^{171}\quad [173]$$

Car la congruence est compatible avec la multiplication ($\forall c\in\mathbb{Z}$, si $a\equiv b\quad [n]$ alors $ac\equiv bc\quad [n]$, en particulier si $a\equiv b\quad [n]$ alors $(-a)\equiv (-b)\quad [n]$).

On multiplie ensuite les deux côtés de l’égalité par $b$ et on obtient :

$$-b\times a^{171}\equiv b^{172}\quad [173]$$

On utilise ensuite le résultat établi à la question précédente ($\displaystyle a^{172}\equiv b^{172}\quad [173]$) et on a :

$$-b\times a^{171}\equiv a^{172}\quad [173]$$

Par symétrie de la congruence (Si $\displaystyle a\equiv b\quad [n]$, alors $\displaystyle b\equiv a\quad [n]$), on a :

$$a^{172}\equiv -b\times a^{171}\quad [173]$$

Par suite,

$$a^{172}+b\times a^{171}\equiv 0\quad [173]$$

D’où :

$$a^{171}(a+b)\equiv 0\quad [173]$$

$\displaystyle a^{171}(a+b)\equiv 0\quad 173$. Autrement dit, $\displaystyle a^{171}(a+b)$ est divisible par $173$.

 

4.3 En déduire que : $a+b$ est divisible par $173$

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

Pour répondre à cette question, on va utiliser la relation établie à la question précédente ($a^{171}(a+b)$ est divisible par $173$) et le théorème de Gauss.

---

Théorème de Gauss (Rappel) :

Soit $n$ un entier qui divise le produit $ab$. Si $n$ est premier avec $a$, alors $n$ divise $b$.

---

On sait que $a$ n’est pas divisible par $173$ donc $a^{171}$ n’est pas divisible non plus par $173$ et $a^{171}$ et $173$ sont premiers entre eux.

On a établit à la question précédente que $\displaystyle a^{171}(a+b)\equiv 0\quad 173$, c’est à dire que $\displaystyle a^{171}(a+b)$ est divisible par $173$.

Ainsi, $173$ divise $a+b$ d’après le théorème de Gauss.

 

Partie II

Le but de cette partie est de résoudre l’équation :

(E) $\quad\displaystyle x^3+y^3=173(xy+1)$

Où $x$ et $y$ sont des entiers naturels non nuls.

1. Vérifier que : $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$

Soit $(x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ une solution de l’équation (E).

On a donc,

$$x^3+y^3=173(xy+1)$$

Soit en factorisant,

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=173(xy+1)$$

On sait d’après l’énoncé que $x+y=173k$ avec $k\in\mathbb{N}^*$, donc,

$$173k(x^2-xy+y^2)=173(xy+1)$$

Soit en simplifiant par $173$

$$k(x^2-xy+y^2)=(xy+1)$$

Comme $\displaystyle x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy$, alors,

$$k(x-y)^2+kxy=xy+1$$

Soit,

$$k(x-y)^2+(k-1)xy=1$$

Si $(x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ est solution de l’équation (E), alors on a le relation : $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$ où $k$ est un entier naturel non nul.

 

2. Montrer que $k=1$ puis résoudre l’équation (E) :

On démontre d’abord que $k=1$ :

On utilise la realtion établie à la question précédente que l’on va d’abord majorer et ensuite raisonner par l’absurde.

On a $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$ où $(x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ est solution de l’équation (E) et $k$ est un entier naturel non nul.

Autrement dit,

$$(k-1)xy=1-k(x-y)^2$$

D’où,

$\displaystyle (k-1)xy\leq 1$ car la quantité $\displaystyle k(x-y)^2$ est positive.

Et puisque $k$, $x$ et $y$ sont des entiers naturels non nuls, alors l’inégalité $\displaystyle (k-1)xy\leq 1$ est vérifiée si :

$$\begin{cases}(k-1)xy=0\\\text{ou}\\(k-1)xy=1\end{cases}$$

Examinons chacune de ces deux égalités :

(1) $(k-1)xy=0$ :

Puisque $x\neq 0$ et $y\neq 0$ alors $k-1=0$ et $k=1$.

 

(2) $(k-1)xy=1$ :

Puisque $k$, $x$ et $y$ sont des entiers naturels non nuls, alors pour que cette égalité soit vérifiée il faut nécessairement avoir $k-1=x=y=1$, c’est à dire : $k=2$, $x=1$ et $y=1$

Or on sait par l’énoncé que $\displaystyle x+y=173k$, on en déduit en remplaçant $x$, $y$ et $k$ par les valeurs ainsi obtenues que $\displaystyle 1+1 = 346$ ce qui est impossible.

Donc la seule possibilité pour avoir l’inégalité $\displaystyle (k-1)xy\leq 1$ est $k=1$.

 

Voici une autre méthode pour répondre à cette question :

Cette méthode repose uniquement sur un raisonnement par l’absurde alors que la méthode précédente combinait « absurde + majoration ». On suppose que $k\neq 1$. Comme $k$ est un entier naturel non nul, alors $k\geq 2$.

Ensuite, on a soit $x\neq y$, soit $x=y$.

1er cas : $x\neq y$

On a $k(x-y)^2\geq 1$ car $k \geq 2$ et $x\neq y$, et $(k-1)xy\geq 1$, on en déduit que $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy\geq 2$, ce qui est contradictoire car l’expression $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy$ qui est égale à $1$.

2ème cas : $x=y$

La relation $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$ devient $\displaystyle (k-1)x^2=1$, d’où $k-1=1$ et $x^2=1$ c’est à dire $k=2$ et $x=1$.

Or on sait par l’énoncé que $\displaystyle x+y=173k$, on en déduit en remplaçant $x$ et $y$ par $1$ et $k$ par $2$ que $\displaystyle 1+1 = 2\times 173$ ce qui est impossible.

Donc l’hypothèse de départ qui consiste à dire que $k\neq 1$ est fausse. Donc $k=1$.

On résout ensuite l’équation (E) :

On a :

(E) $\quad\displaystyle x^3+y^3=173(xy+1)$

D’une part, on sait d’après l’énoncé que $\displaystyle x^3+y^3$ est divisible par $173$. (C’est d’ailleurs ce que suggère l’équation (E)).

D’autre part, on sait d’après la question 4.3 que $x+y$ est divisible par $173$, il existe donc un entier naturel non nul $k$ tel que :

$$x+y=173k$$

Comme $k=1$, alors,

$$x+y=173$$

Par ailleurs, on a montré à la question précédente que $\displaystyle k(x-y)^2+(k-1)xy=1$ où $(x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ est solution de l’équation (E) et $k$ est un entier naturel non nul.

Soit avec $k=1$,

$$(x-y)^2=1$$

C’est à dire,

$$x-y=\pm 1$$

On aboutit ainsi au système d’équation suivant, qu’il faudra résoudre dans $\displaystyle\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*$ :

$\displaystyle\begin{cases}x+y=173\\x-y=1\end{cases}$ ou $\displaystyle\begin{cases}x+y=173\\x-y=-1\end{cases}$

D’où,

$\displaystyle\begin{cases}x=87\\y=86\end{cases}$ ou $\displaystyle\begin{cases}x=86\\y=87\end{cases}$

Les solutions de l’équation (E) sont soit $(87\,,\,86)$, soit $(86\,,\,87)$.

 

On vérifie bien entendu que les couples $(87\,,\,86)$ et $(86\,,\,87)$ sont solutions de (E) en injectant leur valeur numérique dans (E).

Vérification pour $(87\,,\,86)$ :

On a $87^3+86^3=658 503+636 056=1 294 559$ et $173(87\times 86 +1)=1 294 559$.

Il y a donc égalité.

Vérification pour $(86\,,\,87)$ :

On a $86^3+87^3=1 294 559$ et $173(86\times 87 +1)=1 294 559$.

Il y a donc égalité.

 

FIN