Limite, continuité, partie entière, sinus

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

La première question ne présente pas de difficultés particulières

 

Pour la question 2, et plus généralement pour le calcul de limites avec partie entière, il convient de toujours essayer la méthode de l’encadrement en partant de la définition de la fonction partie entière.

Ainsi, dans le cadre de cet exercice, cela donne :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}$$

Ensuite, il faudra reformer l’expression de $f$ en multipliant les membres de cette inégalité par $\sin (x)$ … En faisant attention au changements de signes

Et enfin, passer aux calculs des limites !

 

$f$ est la fonction définie par :

$$\{\begin{array}{l}f(x)=E\left(\frac{1}{x}\right)\sin (x)\text{si }x\ne 0\\ f(0)=1\end{array}$$

 

1. Calcul de la limite : ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}}$ :

 

Pour $x\ne 0$, on a : ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$ où $g(x)=\sin (x)$.

Or, $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a fortiori en $0$, donc le taux d’accroissement ${\displaystyle \frac{g(x)-g(0)}{x-0}}$ admet une limite finie en $0$ et on a :

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}& =g^{\prime }(0)\\ & =\cos (0)\\ & =1\end{array}$$

 

Finalement, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=1}$.

 

2. $f$ est continue en $0$ :

Pour montrer que $f$ est continue en $0$, il faut et il suffit de montrer que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}f(x)=f(0)}$.

Je commence donc par calculer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$.

La méthode de l’encadrement fonctionne assez souvent avec les exercices traitant de la partie entière. En tous les cas, vous ne perdrez rien à essayer

Pour tout réel $x$ non nul, on a :

$$\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}$$

Je multiplie les membres de cette inégalité par $\sin (x)$ pour faire apparaître l’expression de $f$, tout en faisant attention au signe de $\sin (x)$.

Ainsi, il faudra distinguer deux cas :

PREMIER CAS :

Si $\sin (x)\ge 0$, alors l’inégalité ci-dessus devient,

$$\frac{\sin (x)}{x}-\sin (x)\le E\left(\frac{1}{x}\right)\sin (x)\le \frac{\sin (x)}{x}$$

Soit,

$$-\sin (x)\le f(x)-\frac{\sin (x)}{x}\le 0$$

Or du fait qu’ici $\sin (x)\ge 0$, on peut écrire :

$$-\sin (x)\le f(x)-\frac{\sin (x)}{x}\le 0\le \sin (x)$$

D’où,

$$|f(x)-\frac{\sin (x)}{x}|\le |\sin (x)|$$

 

DEUXIÈME CAS :

Si $\sin (x)\le 0$, alors on a :

$$\frac{\sin (x)}{x}-\sin (x)\ge E\left(\frac{1}{x}\right)\sin (x)\ge \frac{\sin (x)}{x}$$

C’est-à-dire,

$$\frac{\sin (x)}{x}\le f(x)\le \frac{\sin (x)}{x}-\sin (x)$$

Ou encore,

$$0\le f(x)-\frac{\sin (x)}{x}\le -\sin (x)$$

Comme ici on a $\sin (x)\le 0$, alors on peut écrire :

$$\sin (x)\le 0\le f(x)-\frac{\sin (x)}{x}\le -\sin (x)$$

Soit,

$$|f(x)-\frac{\sin (x)}{x}|\le |\sin (x)|$$

 

Finalement, pour tout réel $x$ différent de $0$, on a :

$$|f(x)-\frac{\sin (x)}{x}|\le |\sin (x)|$$

Puisque ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|\sin (x)|=0}$, alors,

$$\underset{x\to 0}{lim}(f(x)-\frac{\sin (x)}{x})=0$$

D’après le résultat établi à la question, on a ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=1}$,

On en déduit que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}f(x)=1=f(0)}$. Et par suite, $f$ est continue en $0$.

 

FIN