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, le il y a 6 années et 11 mois.
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Montrer que pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$, on a l’égalité $$\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\lfloor x\rfloor $$
où $\lfloor t\rfloor$ désigne la partie entière du nombre réel $t$.On a $n \times\lfloor{x}\rfloor \le\lfloor{nx}\rfloor \le nx$
Donc $ \lfloor{x}\rfloor \le \frac{\lfloor{nx}\rfloor}{n} \le x$
D’où $\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor=\lfloor x\rfloor$</span>
L’inégalité $n\lfloor x\rfloor\leq \lfloor nx\rfloor$ vraie pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$ réside du fait que $$\lfloor (n+1)x\rfloor=\lfloor nx+x\rfloor\geq \lfloor nx\rfloor+\lfloor x\rfloor\quad (\lfloor x+y\rfloor\geq \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor)$$ et une récurrence immédiate sur $n$.
Une autre méthode plus longue mais plus astucieuse consiste à remarquer qu’en posant $f(x)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ de variable réelle ainsi définie, il s’agit de montrer que la fonction $f$ est nulle. Commençons par remarquer que pour tout réel $x$, on a $$f(x+1)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor n(x+1)\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x+1\rfloor=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor+1-\lfloor x\rfloor-1=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor=f(x) $$
Ainsi, la fonction $f$ est 1-périodique. Il suffit de montrer que la fonction $f$ est nulle sur l’intervalle $[0,1[$. En distinguant, les cas $x\in\bigg[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\bigg[$ pour $k\in\{0,1,…,n-1\}$, on retrouve le résultat. CQFD.
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