Une autre méthode plus longue mais plus astucieuse consiste à remarquer qu’en posant $f(x)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ de variable réelle ainsi définie, il s’agit de montrer que la fonction $f$ est nulle. Commençons par remarquer que pour tout réel $x$, on a $$f(x+1)=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor n(x+1)\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x+1\rfloor=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor+1-\lfloor x\rfloor-1=\bigg\lfloor \dfrac{\lfloor nx\rfloor}{n}\bigg\rfloor-\lfloor x\rfloor=f(x) $$
Ainsi, la fonction $f$ est 1-périodique. Il suffit de montrer que la fonction $f$ est nulle sur l’intervalle $[0,1[$. En distinguant, les cas $x\in\bigg[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\bigg[$ pour $k\in\{0,1,…,n-1\}$, on retrouve le résultat. CQFD.
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Cette réponse a été modifiée le il y a 5 années et 3 mois par CHOUKRI.
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