Exercice 1, test 2 d'olympiade (Tronc commun)

[CHOUKRI]

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls vérifiant $$x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3 $$

Déterminer toutes les valeurs possibles du nombre réel

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} $$

[XXXXX XXXXX]

on pose $p=\frac{1}{x}$ et $m=\frac{1}{y}$

donc on doit trouver les valeurs de $p+m$

l’eq de base est equivalente à $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{xy}=1$

ce qui est equivalent à $p^3+m^3+3pm=1 \iff (p+m)^3-1-3m^2p-3p^2m+3pm=0$

$(p+m-1)((p+m)^2+(p+m)+1)-3pm(m+p-1)=0$

$(p+m-1)(p^2+m^2+p+m-pm)=0$
donc $p+m=1$ ou $p^2+m^2+p+m-pm=0$
pour la deuxieme eq , on calcule le discreminent et on trouve qu il est egal à $-3(p+1)^2$

d où $p=-1$ et de meme $m=-1$

donc les valeurs possibles de $p+m$ sons $1$ et $-2$

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