Un dessert d'algèbre linéaire

[CHOUKRI]

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ un corps commutatif. Supposons que $A+B+AB=0$.

Prouver que les matrices $A$ et $B$ commutent.

• Ce sujet a été modifié le il y a 7 années par CHOUKRI.

[CHOUKRI]

C’est facile, en effet il suffit d’utiliser l’identité $(a+1)(b+1)=a+b+ab+1$ (vraie pour tout anneau unitaire).

Puisque $A+B+AB=0,\quad (*)$, alors $A+B+AB+I_n=I_n$, l’identité cité ci-dessus permet d’écrire $(A+I_n)(B+I_n)=I_n$, donc $(B+I_n)$ est l’inverse de $A+I_n$, et alors $(B+I_n)(A+I_n)=I_n$ et par conséquent $A+B+BA=0$. En comparant avec $(*)$, il résulte que $AB=BA$, autrement dit les deux matrices $A$ et $B$ commutent.

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