[Conan]

Hello Sounia,

Exo2) 3) i)

$\begin{align}n^7-n &= n(n^6 -1) \\&= n(n^3+1)(n^3 -1)\\&= (n^3 +1)n(n-1)(n^2 + n +1)\end{align}$

donc si $n\equiv 1\quad [3]$ alors $n^2+n+1\equiv 0\quad [3]$

et si $n\equiv 2\quad [3]$ alors $n^3 + 1 \equiv 0\quad [3]$

d’où $3/n^7-n$

et selon les question précédentes $2/n^7-n$ et $7/n^7-n$
or $2$, $3$ et $7$ sont des nombres (( ou premiers deux à deux entre eux)) premiers distincts, donc $2\times 3\times 7 = 42 / n^7-n$ et par conséquent le reste de la division euclidienne de $n^7-n$ par $42$ est $0$.

ii)  $2/n$ donc $n\equiv 1\quad [4]$ ou $n\equiv 3\quad [4]$, d’où $n^7-n \equiv 0\quad [4]$ ou $n^7-n \equiv 3^7 -3 \quad [4] \equiv  2184\quad [4] \equiv 0\quad [4]$. D’où $4/n^7 -n$

Or $7/n^7 -n$ et $\text{pgcd}(4,7) = 1$, d’où $4\times 7 = 28/n^7-n$ par conséquent le reste de la division euclidienne de $n^7-n$ par $28$ est $0$. CQFD

• Cette réponse a été modifiée le il y a 7 années et 10 mois par Saïd BENLAADAM.

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