Limites et continuité

Soit $f$ une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$

 

1. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Montrer que :

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

 

2. En déduire que si $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$f$ est une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.

$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$

 

Question 1 – $\alpha$ est un réel strictement positif. Montrer que :

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Vous pouvez évaluer séparément les deux membres de part et d’autre de l’égalité puis comparer les résultats ainsi obtenus.

 

Question 2 – $g$ décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ implique $f$ continue sur $\mathbb{R}_+^*$ :

Il faudra utiliser le résultat établit à la question 1 en remarquant que la quantité $\displaystyle\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $g$ en $\alpha$ et que la quantité $\displaystyle\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $f$ en $\alpha$.

Ces deux remarques vous permettront ensuite d’utiliser les données de l’énoncé.

En effet,

Si $g$ est décroissante, alors le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}$ est négatif.

De même, $f$ est strictement croissante signifie que le taux d’accroissement $\displaystyle\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}$ est positif.

Bon travail

$f$ est une fonction définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.

$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$

 

1. $\alpha$ est un réel strictement positif. Montrer que :

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

 

Plutôt que se lancer dans calculs compliqués et complexes, et au vu de la complexité de l’égalité à démontrer, je propose l’approche suivante :

1/ développer le membre de gauche : $\displaystyle\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}$

2/ développer le membre de droite : $\displaystyle\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$

3/ enfin montrer que les deux résultats ainsi obtenus sont égaux

 

Soit $x$ un réel strictement positif différent de $\alpha$.

On a d’une part,

$$\begin{align}\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}&=\frac{\frac{f(x)}{x}-\frac{f(\alpha)}{\alpha}}{x-\alpha}\\&=\frac{\alpha f(x)-xf(\alpha)}{\alpha\,x(x-\alpha)}\end{align}$$

Et d’autre part,

$$\begin{align}\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}&=\frac{\alpha\,\left(f(x)-f(\alpha)\right)-f(\alpha)(x-\alpha)}{\alpha\,x(x-\alpha)}\\&=\frac{\alpha f(x)-\alpha f(\alpha)-xf(\alpha)+\alpha f(\alpha)}{\alpha\,x(x-\alpha)}\\&=\frac{\alpha f(x)-xf(\alpha)}{\alpha\,x(x-\alpha)}\end{align}$$

On en déduit que pour tout réel $x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}$, on a :

$\displaystyle\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$.

 

2. $g$ décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ implique $f$ continue sur $\mathbb{R}_+^*$ :

Pour ce faire, il suffit de montrer que pour tout réel $\alpha$ strictement positif, et pour tout réel $x$ dans $\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}$,

$$\lim_{x\to\alpha}f(x)=f(\alpha)$$

 

D’après le résultat établit à la question précédente, on a :

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Notons au passage que la quantité $\displaystyle\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $g$ en $\alpha$.

Puisque $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ d’après l’hypothèse de l’énoncé,

 

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}\leq 0$$

Alors,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}-\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}\leq 0$$

Autrement dit,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{1}{x}\times\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\leq\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Comme $x$ est différent de $0$, alors,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\leq\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Par ailleurs, on sait d’après l’énoncé que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$, donc le taux d’accroissement de $f$ en $\alpha$ est positif et on peut écrire,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad 0\leq\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}$$

Ou encore,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad 0\leq\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\leq\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Puis,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\left|\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\right|\leq\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}$$

Et finalement,

$$\forall x\in\mathbb{R}_+^*-\{\alpha\}\,,\qquad\left|f(x)-f(\alpha)\right|\leq\frac{f(\alpha)}{\alpha\,x}\,\left|x-\alpha\right|$$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\left|x-\alpha\right|=0$, alors $\displaystyle\lim_{x\to\alpha}f(x)=f(\alpha)$ et par suite, $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.

 

FIN