Limites et continuité

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

$f$ est une fonction définie et strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

$g$ est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ par :

$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$

 

Question 1 – $\alpha$ est un réel strictement positif. Montrer que :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }=\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Vous pouvez évaluer séparément les deux membres de part et d’autre de l’égalité puis comparer les résultats ainsi obtenus.

 

Question 2 – $g$ décroissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ implique $f$ continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ :

Il faudra utiliser le résultat établit à la question 1 en remarquant que la quantité ${\displaystyle \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $g$ en $\alpha$ et que la quantité ${\displaystyle \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $f$ en $\alpha$.

Ces deux remarques vous permettront ensuite d’utiliser les données de l’énoncé.

En effet,

Si $g$ est décroissante, alors le taux d’accroissement ${\displaystyle \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }}$ est négatif.

De même, $f$ est strictement croissante signifie que le taux d’accroissement ${\displaystyle \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }}$ est positif.

Bon travail

$f$ est une fonction définie et strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

$g$ est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ par :

$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$

 

1. $\alpha$ est un réel strictement positif. Montrer que :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }=\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

 

Plutôt que se lancer dans calculs compliqués et complexes, et au vu de la complexité de l’égalité à démontrer, je propose l’approche suivante :

1/ développer le membre de gauche : ${\displaystyle \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }}$

2/ développer le membre de droite : ${\displaystyle \frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}}$

3/ enfin montrer que les deux résultats ainsi obtenus sont égaux

 

Soit $x$ un réel strictement positif différent de $\alpha$.

On a d’une part,

$$\begin{array}{rl}\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }& =\frac{\frac{f(x)}{x}-\frac{f(\alpha )}{\alpha }}{x-\alpha }\\ & =\frac{\alpha f(x)-xf(\alpha )}{\alpha x(x-\alpha )}\end{array}$$

Et d’autre part,

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}& =\frac{\alpha (f(x)-f(\alpha ))-f(\alpha )(x-\alpha )}{\alpha x(x-\alpha )}\\ & =\frac{\alpha f(x)-\alpha f(\alpha )-xf(\alpha )+\alpha f(\alpha )}{\alpha x(x-\alpha )}\\ & =\frac{\alpha f(x)-xf(\alpha )}{\alpha x(x-\alpha )}\end{array}$$

On en déduit que pour tout réel $x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \}$, on a :

${\displaystyle \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }=\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}}$.

 

2. $g$ décroissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ implique $f$ continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ :

Pour ce faire, il suffit de montrer que pour tout réel $\alpha$ strictement positif, et pour tout réel $x$ dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \}$,

$$\underset{x\to \alpha }{lim}f(x)=f(\alpha )$$

 

D’après le résultat établit à la question précédente, on a :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }=\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Notons au passage que la quantité ${\displaystyle \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }}$ n’est autre que le taux d’accroissement de $g$ en $\alpha$.

Puisque $g$ est décroissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ d’après l’hypothèse de l’énoncé,

 

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }\le 0$$

Alors,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }-\frac{f(\alpha )}{\alpha x}\le 0$$

Autrement dit,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{1}{x}\times \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }\le \frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Comme $x$ est différent de $0$, alors,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }\le \frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Par ailleurs, on sait d’après l’énoncé que $f$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, donc le taux d’accroissement de $f$ en $\alpha$ est positif et on peut écrire,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},0\le \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }$$

Ou encore,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},0\le \frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }\le \frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Puis,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},\left|\frac{f(x)-f(\alpha )}{x-\alpha }\right|\le \frac{f(\alpha )}{\alpha x}$$

Et finalement,

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }-\{\alpha \},|f(x)-f(\alpha )|\le \frac{f(\alpha )}{\alpha x}|x-\alpha |$$

Comme ${\displaystyle \underset{x\to \alpha }{lim}|x-\alpha |=0}$, alors ${\displaystyle \underset{x\to \alpha }{lim}f(x)=f(\alpha )}$ et par suite, $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

 

FIN