Raisonnement par récurrence

Limite d’une suite, monotonie, point fixe, convergence

Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$. Et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :   $$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $$u_n>\sqrt{a}$$   2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. …

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Une limite classique, suites, factorielle

On considère la suite $\displaystyle (u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ différent de zéro par : $$u_n=\frac{2^n}{n!}$$ 1. Montrer que la suite $\displaystyle (u_n)$ est décroissante. 2. En déduire que $\displaystyle (u_n)$ est convergente. 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a : $$2\times 3^{n-2}\leq n!$$ 4. En …

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Révisions d’été – Le raisonnement par récurrence (Partie II)

Cet article s’inscrit dans la continuité de l’article « Révisions d’été – Le raisonnement par récurrence (Partie I) » (Que vous pouvez consulter en cliquant ici). À ce titre, les deux articles sont complémentaires. I. Le principe de récurrence double : On rencontre parfois des récurrences un petit peu plus compliquées, où l’on ne sait pas déduire …

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Révisions d’été – Le raisonnement par récurrence (Partie I)

I. Le principe de récurrence : Soit $n$ un entier naturel. On considère les suites $\displaystyle (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\displaystyle (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme général : $\displaystyle u_n=0+1+2+\cdots +(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}\quad$ et, $\displaystyle v_n=0^3+1^3+2^3+\cdots +(n-1)^3+n^3$. 1. Calculer $u_n$ et $v_n$ pour $n=0,\,1,\,2,\,3$ et $4$. Peut-on conjecturer une relation entre $u_n$ et $v_n$ ? 2. Considérons la propriété $\mathcal{P}_n$ : $u_{n}^2=v_n$. 2.1. …

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