Théorème des valeurs intermédiaires, sens de variation

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$$

 

1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$.

2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$.

3. Montrer qu’il existe un réel $\alpha$ dans l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

Question 1 :

Il faudra étudier le sens de variation de la fonction $f$ en étudiant le signe de sa dérivée $f^{\prime}$.

 

Question 2 : 

Il faudra utiliser la stricte monotonie de $f$ établie à la question précédente.

 

Question 3 :

Le théorème des valeurs intermédiaires est votre ami

 

FIN

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, et $f$ est la fonction définie par :

$$f(x)=x^{n+1}-2x^n+1$$

 

1. $f$ est décroissante sur l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$ :

$f$ est une fonction polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et a fortiori sur $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$.

Pour tout réel $x$ dans $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$, et pour tout entier naturel $n\geq 2$ on a :

$$\begin{align}f^{\prime}(x)&=(n+1)x^n-2nx^{n-1}\\&=(n+1)x^n\,\left(x-\frac{2n}{n+1}\right)\end{align}$$

Comme $x$ est dans l’intervalle $\displaystyle\left[0\,;\,\frac{2n}{n+1}\right]$, alors $\displaystyle x-\frac{2n}{n+1}\leq 0$ et $x^{n-1}\geq 0$ et par suite $f^{\prime}(x)\leq 0$.

À ce stade, on a montré que $f$ est décroissante. Il reste à montrer la stricte décroissance.

Pour ce faire, on s’appuie sur le théorème suivant :

Théorème :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f^{\prime}$ est strictement positive sur $I$, sauf en une nombre fini de réels $x$ de $I$, pour lesquels $f^{\prime}(x)=0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

• Si $f^{\prime}$ est strictement négative sur $I$, sauf en une nombre fini de réels $x$ de $I$, pour lesquels $f^{\prime}(x)=0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 

On a $f^{\prime}(0)=0$ et $f^{\prime}\left(\frac{2n}{n+1}\right)=0$, donc $f^{\prime}$ s’annule en un nombre fini de points : $0$ et $\displaystyle\frac{2n}{n+1}$.

 

$f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $\left[0\,,\,\frac{2n}{n+1}\right]$.

 

2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, on a $\displaystyle f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$ :

On sait d’après l’énoncé que $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, $n$ est donc strictement supérieur à $1$.

On a donc,

$$\begin{align}2n&=n+n\\&>n+1\end{align}$$

On en déduit que,

$$\frac{2n}{n+1}>1$$

Or $f$ est strictement décroissante (résultat établi à la question précédente), d’où,

$$f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<f(1)$$

Puisque $f(1)=1^{n+1}-2\times 1^{n}+1=0$, alors on a $\displaystyle f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$.

 

3. Montrer qu’il existe un réel $\alpha$ dans l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$ :

La façon dont la question est formulée sous-entend qu’il faudra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

Rappel du théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) :

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[a\,;\,b]$.

 

Appliquons donc le théorème des valeurs intermédiaires en commençant par vérifier ses hypothèses :

Hypothèse 1 :

$f$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et a fortiori sur $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$.

Hypothèse 2 :

On a $\displaystyle f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0$ d’après la question précédente, et $f(2)=2^{n+1}-2\times 2^n+1=2^{n+1}-2^{n+1}+1=1>0$.

$0$ est donc compris entre $\displaystyle f\left(\frac{2n}{n+1}\right)$ et $f(2)$, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $\displaystyle\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$.

Autrement dit, il existe un réel $\displaystyle\alpha\in\left[\frac{2n}{n+1}\,;\,2\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.

 

FIN