Enoncé

$n$ est un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation :

$$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$

À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$f(x)=\ln(x)+x$$

Existence des racines de $(E_n)$ :

1. Etudier les variations de la fonction $f$.

2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, l’équation $(E_n)$ admet une unique racine $x_n$.

3. Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

4. Donner la valeur de $x_1$.

 

Etude de la convergence de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :

1. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif,

$$\ln(x)<x$$

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$$

3. Quelle est la limite de la suite $(x_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

 

FIN

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice ;-)

 

Existence des racines de l’équation $(E_n)$ :

Question 1 :

Cette question ne présente aucune difficulté.

 

Question 2 :

Pour montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}, il faudra appliquer le théorème de la bijection qui est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Le voici pour rappel :

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Une fonction $f$ continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a\,;\,b]$ réalise une bijection de $[a\,;\,b]$ sur l’intervalle dont les bornes sont $f(a)$ et $f(b)$.

Pour montrer que l’équation $(E_n)$ admet une unique solution, il faudra appliquer la variante ci-dessous (autre formulation) du théorème de la bijection.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a\,;\,b]$ alors, pour tout réel $k$ dans l’intervalle $J$ image de $[a\,;\,b]$ par $f$, il existe une unique solution à l’équation $f(x) = k$ d’inconnue $x$ dans $[a\,;\,b]$.

 

Question 3 :

Pour montrer que la suite $(x_n)$ est strictement décroissante, il faut et il suffit de montrer que $x_n<x_{n+1}$.

Une manière de faire est de comparer $f(x_n)$ avec $f(x_{n+1})$ étant que l’on connait le sens de variations de $f$ ;-)

 

Etude de la convergence de la suite $(x_n)$ :

Question 1 :

Une façon pour montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $\ln(x)<x$ consiste à montrer que le signe de la différence $\ln(x)-x$ est strictement négatif.

Vous pouvez par exemple introduire la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $\displaystyle g(x)=\ln(x)-x$ puis étudier ses variations pour en déduire son signe.

 

Question 2 :

Pour montrer l’encadrement demandé, c’est à dire que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\displaystyle\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$, vous pouvez commencer par comparer les images respectives. C’est à dire $\displaystylef\left(\frac{n}{2}\right)\,$, $f(x_n)$ et $f(n)$ puis conclure grâce à la monotonie de $f$.

 

Question 3 :

Pour déterminer la limite de $(x_n)$, il suffit d’utiliser le résultat établit à la question précédente ;-)

 

FIN

Corrigé

$n$ est un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation :

$$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$

À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$f(x)=\ln(x)+x$$

Existence des racines de $(E_n)$ :

1. Etudier les variations de la fonction $f$ :

Les fonctions $x\mapsto\ln(x)$ et $x\mapsto x$ sont dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$, $f$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ comme somme de ces deux fonctions et pour tout réel $x$ strictement positif on a :

$$\begin{align}f^{\prime}(x)&=\frac{1}{x}+1\\\\&=\frac{1+x}{x}\end{align}$$

$f^{\prime}$ est strictement positive sur $\mathbb{R}_+^*$ et $f$ y est strictement croissante.

Comme, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, alors on a le tableau de variations de $f$ :

 

$$\large\begin{array}{|c|lcr|} \hline x & 0\qquad\qquad\qquad & & \qquad\qquad\qquad+\infty \\  \hline \text{Signe de } f’(x) &\| & + &  \\  \hline \\  \text{Variations de } f &-\infty & \nearrow & +\infty \\  \\ \hline \end{array}$$

 

2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$ puis solution de l’équation $(E_n)$ :

 

$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*\,$, donc $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\displaystyle \left]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,\lim_{x\to +\infty}f(x)\right[=\mathbb{R}$.

Pour conclure et montrer que l’équation $(E_n)$ admet une unique racine $x_n$, il suffit d’appliquer le théorème de la bijection qui est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème de la bijection :

Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;\, b]$ et $k$ un réel appartenant à l’intervalle (image) $[f(a)\,;\, f(b)]$. Alors, l’équation $f(x) = k$ admet
une solution unique sur $[a\,;\, b]$

Pour $n\in\mathbb{N}$, on a $n\in\mathbb{R}$ donc l’équation $f(x)=n$ possède une unique solution que l’on notera $x_n$. Cette solution $x_n$ est dans $\mathbb{R}_+^*\,$.

 

3. Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante :

Comme $f(x_n)=n<n+1=f(x_{n+1})$ alors $x_n<x_{n+1}$.

Et par suite, $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

 

4. Donner la valeur de $x_1$ :

On a $f(1)=\ln(1)+1=1$.

On en déduit que $x_1=1$.

 

Etude de la convergence de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :

1. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif,

$$\ln(x)<x$$

Pour montrer l’inégalité demandée, on étudie les variations de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $\displaystyle g(x)=\ln(x)-x$.

$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et pour tout réel $x$ strictement positif on a :

$$\begin{align}g^{\prime}(x)&=\frac{1}{x}-1\\\\&=\frac{1-x}{x}\end{align}$$

$g^{\prime}$ est donc du signe de $1-x$.

Tableau de variations de $g$ :

$$\large\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & 0\qquad\qquad& & 1 & & \qquad\qquad+\infty \\ \hline \text{Signe de } (1-x) &&+\qquad\qquad&0&\qquad\qquad-&\\ \hline \text{Signe de }g^{\prime}(x) &&+\qquad\qquad&0&\qquad\qquad-& \\ \hline \\ \text{Variations de }g &&\nearrow\qquad\qquad&-1&\qquad\qquad\searrow&\\ \\ \hline \end{array}$$

 

Donc pour tout réel $x$ strictement positif, $g(x)<0$ et par suite $\ln(x)<x$.

 

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$$

Pour ce faire, il suffit de comparer les images des membres de l’inégalité demandée.

On a d’une part,

$$f\left(\frac{n}{2}\right)=\ln\left(\frac{n}{2}\right)+\frac{n}{2}$$

Or d’après l’inégalité établie à la question précédente, on a $\displaystyle\ln\left(\frac{n}{2}\right)<\frac{n}{2}$ pour tout $n$ strictement positif. D’où :

$$\begin{align}f\left(\frac{n}{2}\right)&\leq\frac{n}{2}+\frac{n}{2}\\&\leq n\end{align}$$

Et d’autre part,

$$\begin{align}f(n)&=\ln(n)+n\\&\geq n\;\text{car }n\geq 1\end{align}$$

 

donc,

$$f\left(\frac{n}{2}\right)<n=f(x_n)<f(n)$$

Comme $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$ et que $\displaystyle\frac{n}{2}\,$, $x_n$ et $n$ en sont des éléments, alors pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

$\displaystyle\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$

3. Quelle est la limite de la suite $(x_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Pour ce faire, il suffit d’utiliser l’inégalité établie ci-dessus. En effet, on a :

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2}=+\infty$ donc par minoration $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty$.

La suite $(x_n)$ est donc divergente.

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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