$n$ est un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation :

$$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$

À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$f(x)=\ln(x)+x$$

Existence des racines de $(E_n)$ :

1. Etudier les variations de la fonction $f$.

2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, l’équation $(E_n)$ admet une unique racine $x_n$.

3. Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

4. Donner la valeur de $x_1$.

 

Etude de la convergence de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :

1. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif,

$$\ln(x)<x$$

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$$

3. Quelle est la limite de la suite $(x_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

 

FIN

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice

 

Existence des racines de l’équation $(E_n)$ :

Question 1 :

Cette question ne présente aucune difficulté.

 

Question 2 :

Pour montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}, il faudra appliquer le théorème de la bijection qui est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Le voici pour rappel :

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Une fonction $f$ continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a\,;\,b]$ réalise une bijection de $[a\,;\,b]$ sur l’intervalle dont les bornes sont $f(a)$ et $f(b)$.

Pour montrer que l’équation $(E_n)$ admet une unique solution, il faudra appliquer la variante ci-dessous (autre formulation) du théorème de la bijection.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a\,;\,b]$ alors, pour tout réel $k$ dans l’intervalle $J$ image de $[a\,;\,b]$ par $f$, il existe une unique solution à l’équation $f(x) = k$ d’inconnue $x$ dans $[a\,;\,b]$.

 

Question 3 :

Pour montrer que la suite $(x_n)$ est strictement décroissante, il faut et il suffit de montrer que $x_n<x_{n+1}$.

Une manière de faire est de comparer $f(x_n)$ avec $f(x_{n+1})$ étant que l’on connait le sens de variations de $f$

 

Etude de la convergence de la suite $(x_n)$ :

Question 1 :

Une façon pour montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $\ln(x)<x$ consiste à montrer que le signe de la différence $\ln(x)-x$ est strictement négatif.

Vous pouvez par exemple introduire la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $\displaystyle g(x)=\ln(x)-x$ puis étudier ses variations pour en déduire son signe.

 

Question 2 :

Pour montrer l’encadrement demandé, c’est à dire que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\displaystyle\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$, vous pouvez commencer par comparer les images respectives. C’est à dire $\displaystylef\left(\frac{n}{2}\right)\,$, $f(x_n)$ et $f(n)$ puis conclure grâce à la monotonie de $f$.

 

Question 3 :

Pour déterminer la limite de $(x_n)$, il suffit d’utiliser le résultat établit à la question précédente

 

FIN

$n$ est un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est l’étude des racines de l’équation :

$$(E_n)\,:\quad\ln(x)+x=n$$

À cet effet, on introduit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$$f(x)=\ln(x)+x$$

Existence des racines de $(E_n)$ :

1. Etudier les variations de la fonction $f$ :

Les fonctions $x\mapsto\ln(x)$ et $x\mapsto x$ sont dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$, $f$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ comme somme de ces deux fonctions et pour tout réel $x$ strictement positif on a :

$$\begin{align}f^{\prime}(x)&=\frac{1}{x}+1\\\\&=\frac{1+x}{x}\end{align}$$

$f^{\prime}$ est strictement positive sur $\mathbb{R}_+^*$ et $f$ y est strictement croissante.

Comme, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, alors on a le tableau de variations de $f$ :

 

$$\large\begin{array}{|c|lcr|} \hline x & 0\qquad\qquad\qquad & & \qquad\qquad\qquad+\infty \\  \hline \text{Signe de } f’(x) &\| & + &  \\  \hline \\  \text{Variations de } f &-\infty & \nearrow & +\infty \\  \\ \hline \end{array}$$

 

2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\mathbb{R}$ puis solution de l’équation $(E_n)$ :

 

$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*\,$, donc $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ sur $\displaystyle \left]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,\lim_{x\to +\infty}f(x)\right[=\mathbb{R}$.

Pour conclure et montrer que l’équation $(E_n)$ admet une unique racine $x_n$, il suffit d’appliquer le théorème de la bijection qui est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème de la bijection :

Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;\, b]$ et $k$ un réel appartenant à l’intervalle (image) $[f(a)\,;\, f(b)]$. Alors, l’équation $f(x) = k$ admet
une solution unique sur $[a\,;\, b]$

Pour $n\in\mathbb{N}$, on a $n\in\mathbb{R}$ donc l’équation $f(x)=n$ possède une unique solution que l’on notera $x_n$. Cette solution $x_n$ est dans $\mathbb{R}_+^*\,$.

 

3. Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante :

Comme $f(x_n)=n<n+1=f(x_{n+1})$ alors $x_n<x_{n+1}$.

Et par suite, $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

 

4. Donner la valeur de $x_1$ :

On a $f(1)=\ln(1)+1=1$.

On en déduit que $x_1=1$.

 

Etude de la convergence de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :

1. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif,

$$\ln(x)<x$$

Pour montrer l’inégalité demandée, on étudie les variations de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $\displaystyle g(x)=\ln(x)-x$.

$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et pour tout réel $x$ strictement positif on a :

$$\begin{align}g^{\prime}(x)&=\frac{1}{x}-1\\\\&=\frac{1-x}{x}\end{align}$$

$g^{\prime}$ est donc du signe de $1-x$.

Tableau de variations de $g$ :

$$\large\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & 0\qquad\qquad& & 1 & & \qquad\qquad+\infty \\ \hline \text{Signe de } (1-x) &&+\qquad\qquad&0&\qquad\qquad-&\\ \hline \text{Signe de }g^{\prime}(x) &&+\qquad\qquad&0&\qquad\qquad-& \\ \hline \\ \text{Variations de }g &&\nearrow\qquad\qquad&-1&\qquad\qquad\searrow&\\ \\ \hline \end{array}$$

 

Donc pour tout réel $x$ strictement positif, $g(x)<0$ et par suite $\ln(x)<x$.

 

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$$

Pour ce faire, il suffit de comparer les images des membres de l’inégalité demandée.

On a d’une part,

$$f\left(\frac{n}{2}\right)=\ln\left(\frac{n}{2}\right)+\frac{n}{2}$$

Or d’après l’inégalité établie à la question précédente, on a $\displaystyle\ln\left(\frac{n}{2}\right)<\frac{n}{2}$ pour tout $n$ strictement positif. D’où :

$$\begin{align}f\left(\frac{n}{2}\right)&\leq\frac{n}{2}+\frac{n}{2}\\&\leq n\end{align}$$

Et d’autre part,

$$\begin{align}f(n)&=\ln(n)+n\\&\geq n\;\text{car }n\geq 1\end{align}$$

 

donc,

$$f\left(\frac{n}{2}\right)<n=f(x_n)<f(n)$$

Comme $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$ et que $\displaystyle\frac{n}{2}\,$, $x_n$ et $n$ en sont des éléments, alors pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

$\displaystyle\frac{n}{2}\leq x_n\leq n$

3. Quelle est la limite de la suite $(x_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Pour ce faire, il suffit d’utiliser l’inégalité établie ci-dessus. En effet, on a :

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2}=+\infty$ donc par minoration $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty$.

La suite $(x_n)$ est donc divergente.

FIN