Enoncé

L’objectif de cet exercice est de vous donner une méthodologie pour calculer ce type de limite avec partie entière.

L’exercice contient beaucoup de technicité. J’ai essayé de structurer le raisonnement de sorte à ce que vous puissiez réutiliser cette méthodologie pour d’autres exercices de limite avec partie entière. Le plus important à mon sens et de comprendre et retenir l’approche plutôt que le résultat. Mais ça, vous le savez déjà ;-)

Beau challenge, et bon travail !


Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=x\,\sqrt{E^2\left(\frac{1}{x}\right)-E\left(\frac{1}{x}\right)}$$

Calculer la limite, si elle existe, de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$.

 

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cette question ;-)

 

En général, la clé pour ce type de questions est l’encadrement de la fonction $f$.

La méthodologie à suivre consiste donc à encadrer la fonction $f$ par deux fonctions qui ont la même limite lorsque $x$ tend vers $0$ puis de conclure avec le théorème des gendarmes.

Ici, la présence de $\displaystyle\frac{1}{x}$ comme argument de la fonction partie entière pousse à considérer la limite de $f$ à droite de $0$ : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)$ puis à gauche de $0$ : $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)$ et vérifier si ces deux limites existent et sont égales pour enfin conclure.

 

Pour des raisons de signe sous la racine mais aussi pour rester dans l’esprit de la question ($x$ tend vers $0$), vous pouvez restreindre l’intervalle de l’étude à un petit intervalle proche de $0$ comme par exemple $\displaystyle\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$ pour la limite à droite de $0$ et $\displaystyle\left]-\frac{1}{4}\,,\,0\right[$ pour la limite à gauche de $0$.

 

La méthodologie que je propose est la suivante :

1/ Calculer la limite de $f$ à droite de $0$.

Partir de $x$ dans $\displaystyle\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$ puis encadrer l’expression de $f$ par encadrements successifs

2/ Calculer la limite de $f$ à gauche de $0$.

Partir de $x$ dans $\displaystyle\left]-\frac{1}{4}\,,\,0\right[$ puis encadrer l’expression de $f$ par encadrements successifs, en faisant attention aux signes étant donné qu’ici $x$ est strictement négatif.

3/ Conclure.

 

Beau challenge et bon travail ;-)

Corrigé

$f$ est la fonction définie par :

$$f(x)=x\,\sqrt{E^2\left(\frac{1}{x}\right)-E\left(\frac{1}{x}\right)}$$

Calcul de la limite, si elle existe, $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$.

C’est parti ;-)

Pour ce type de questions, l’idée générale est d’encadrer la fonction $f$ par deux fonctions ayant la même limite puis de conclure à l’aide du théorème des gendarmes.

Ici, la présence de $\displaystyle\frac{1}{x}$ comme argument de la fonction $f$ pousse à étudier la limite de $f$ de part et d’autre de $0$ avant de conclure.

Mais avant de procéder au calcul de cette limite, je propose de deviner sa valeur, si elle existe, en regardant comment se comporte la fonction $f$ au voisinage de $0$.

Pour cela, je prends $\displaystyle x=\pm\frac{1}{p}$ où $p$ est un entier naturel différent de $0$ et de $1$. En fait, l’idée est de faire tendre $p$ vers $+\infty$ pour que $x$ tende vers $0$.

Ainsi, lorsque $x$ s’approche de $0$ par la droite, on a $\displaystyle x=\frac{1}{p}$ et l’expression de $f$ s’écrit alors :

$$\begin{align}\frac{1}{p}\sqrt{E^2(p)-E(p)}&=\frac{1}{p}\sqrt{E^2(p)\left(1-\frac{1}{E(p)}\right)}\\&=\frac{E(p)}{p}\sqrt{1-\frac{1}{E(p)}}\end{align}$$

Or, d’une part, la quantité $\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{E(p)}}$ tend vers $1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$, et d’autre part, on a pour tout entier naturel $p$ différent de $0$ et de $1$ :

$$p-1<E(p)\leq p$$

Soit en divisant tous les membres par $p$,

$$1-\frac{1}{p}<\frac{E(p)}{p}\leq 1$$

On en déduit que $\displaystyle\frac{E(p)}{p}$ tend vers $1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

Et par produit, la quantité $\displaystyle\frac{E(p)}{p}\sqrt{1-\frac{1}{E(p)}}$ tend vers $1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

Donc, a priori la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$ par la droite serait égale à $1$, i.e $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=1$.

 

Regardons maintenant ce qu’il en est à gauche de $0$.

$p$ est toujours un entier naturel différent de $0$ et de $1$. On a $\displaystyle x=-\frac{1}{p}$ et l’expression de $f$ s’écrit alors,

$$-\frac{1}{p}\sqrt{E^2(-p)-E(-p)}=-\frac{1}{p}\times |E(-p)|\times\sqrt{1-\frac{1}{E(-p)}}$$

Ici, $E(-p) <0$ donc $|E(-p)|=-E(-p)$ et l’égalité ci-dessus devient,

$$-\frac{1}{p}\sqrt{E^2(-p)-E(-p)}=\frac{E(-p)}{p}\sqrt{1-\frac{1}{E(-p)}}$$

Puisque,

$$-p-1<E(-p)\leq -p$$

Alors,

$$-1-\frac{1}{p}<\frac{E(-p)}{p}\leq -1$$

On en déduit que la quantité $\displaystyle\frac{E(-p)}{p}$ tend vers $-1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$ puis par produit, la quantité $\displaystyle\frac{E(-p)}{p}\sqrt{1-\frac{1}{E(-p)}}$ tend vers $-1$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

Donc, a priori la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$ par la droite serait égale à $-1$, i.e $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)=-1$.

Remarque :

J’aurais pu m’affranchir des considérations de signe sous la racine ci-dessus en utilisant la propriété $\displaystyle E(-x)=-E(x)-1$ valable pour tout réel $x$.

 

Finalement, la fonction $f$ n’admettrait donc pas de limite en zéro car les deux limites de $f$ de part et d’autre de $0$ ne sont pas égales.

 

PREUVE :

Je propose de suivre la même démarche que la méthode à tâtons ci-dessus, à savoir :

1/ Calculer la limite de $f$ à droite de $0$.

2/ Calculer la limite de $f$ à gauche de $0$.

3/ Conclure.

 

1/ Calcul de la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures :

Puisque l’étude porte sur la limite de $f$ à droite de $0$, il est judicieux de restreindre l’intervalle d’étude à un petit intervalle à droite de $0$ comme par exemple l’intervalle $\displaystyle\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$.

Mon objectif est désormais d’encadrer la fonction $f$ par deux fonctions qui ont la même limite en $0^+$ (a priori $1$).

Soit $x$ un réel de $\displaystyle\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$ :

On a d’après la définition de la fonction partie entière,

$$\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1}{x}$$

D’où,

$$\frac{1}{x}-2<E\left(\frac{1}{x}\right)-1\leq\frac{1}{x}-1$$

Les membres de cette inégalité sont tous positifs car $\displaystyle x\in\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$, donc $\displaystyle\frac{1}{x}-2>0$ et $\displaystyle\frac{1}{x}-1>0$, on peut donc multiplier ces deux inégalités membre à membre sans en impacter le sens, et on a :

$$\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x}-2\right)<E\left(\frac{1}{x}\right)\left(E\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)\leq\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-1\right)$$

C’est à dire,

$$\frac{(1-x)(1-2x)}{x^2}<E^2\left(\frac{1}{x}\right)-E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1-x}{x^2}$$

Or, les quantités $\displaystyle (1-x)(1-2x)$ et $\displaystyle 1-x$ sont strictement positives sur l’intervalle choisi $\displaystyle\left]0\,,\,\frac{1}{4}\right[$, donc pas de problème pour la composition avec la fonction racine carrée.

Et on a :

$$\frac{\sqrt{(1-x)(1-2x)}}{x}<\sqrt{E^2\left(\frac{1}{x}\right)-E\left(\frac{1}{x}\right)}\leq\frac{\sqrt{1-x}}{x}$$

D’où,

$$\sqrt{(1-x)(1-2x)}<f(x)\leq\sqrt{1-x}$$

Et puisque,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\sqrt{(1-x)(1-2x)}=1$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\sqrt{1-x}=1$

Alors, $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=1$ d’après le théorème des gendarmes.

 

2/ Calcul de la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures :

Soit $x$ un réel de l’intervalle $\displaystyle\left]-\frac{1}{4}\,,\,0\right[$.

En fait, ici nous n’avons pas les mêmes contraintes de signe pour la composition avec la fonction racine carrée. Donc j’aurais pu choisir $x$ dans $\mathbb{R}^*_+$. Mais dans un soucis de cohérence avec l’esprit de la question ($x$ voisin de $0$, je choisis l’intervalle $\displaystyle\left]-\frac{1}{4}\,,\,0\right[$.

On a, $\displaystyle\frac{1}{x}-1<E\left(\frac{1}{x}\right)\leq\frac{1}{x}$ et $\displaystyle\frac{1-2x}{x}<E\left(\frac{1}{x}\right)-1\leq\frac{1-x}{x}$.

Pour $x$ dans l’intervalle $\displaystyle\left]-\frac{1}{4}\,,\,0\right[$, les membres de ces deux inégalités sont strictement négatifs. Donc, le fait de multiplier ces deux inégalités membre à membre en fait changer le sens et on a :

$$\frac{(1-x)(1-2x)}{x^2}>E\left(\frac{1}{x}\right)\left(E\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)\geq\frac{1-x}{x^2}$$

C’est-à-dire,

$$\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}\leq\sqrt{E\left(\frac{1}{x}\right)\left(E\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}<\sqrt{\frac{(1-x)(1-2x)}{x^2}}$$

Ou encore,

$$\frac{\sqrt{1-x}}{|x|}\leq\sqrt{E\left(\frac{1}{x}\right)\left(E\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}<\sqrt{\frac{(1-x)(1-2x)}{|x|}}$$

Mais puisque $x<0$, alors $|x|=-x$ et par suite,

$$\frac{\sqrt{1-x}}{-x}\leq\sqrt{E\left(\frac{1}{x}\right)\left(E\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}<\sqrt{\frac{(1-x)(1-2x)}{-x}}$$

Et enfin,

$$-\sqrt{1-x}\leq f(x)<-\sqrt{(1-x)(1-2x)}$$

Etant donné que,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}-\sqrt{1-x}=-1$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}-\sqrt{(1-x)(1-2x)}=-1$

Alors, $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)=-1$ d’après le théorème des gendarmes.

3/ Conclusion :

On a,

$$\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)\neq\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)$$

Donc, $f$ n’admet pas de limite en zéro.

En revanche, on peut dire que $f$ admet une limite à gauche de $0$ et une limite à droite de $0$.

 

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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