Enoncé

Cet exercice traitant des limites d’une fonction composée fait partie d’une série de révisions et de rappels autour des limites de fonctions.

La série a été commencée hier matin avec ce premier article que vous pouvez consulter ici.

Cet exercice ne présente pas de grandes difficultés, il vise avant tout à rafraîchir les connaissances, revenir sur les méthodes vues l’année dernière, et vous proposer des éléments de rédaction.

Bon exercice :-)

 

(Rappel) Théorème « admis » – Limite d’une fonction composée :

Soient deux fonctions $f$ et $g$, et soient $a$, $b$ et $\ell$ des réels ou $-\infty$ ou $+\infty$.

Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b$ et si $\displaystyle\lim_{x\to b}g(x)=\ell$ alors $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{x\to a}g\circ f(x)=\ell$.

 

1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}$

2) Déterminer la limite éventuelle en $2$ de $\displaystyle\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$

3) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}$.

Rappel : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

4) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Indications

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les questions délicates ou particulièrement difficiles ;-)

Question 2 :

Vous pouvez commencer par déterminer le domaine de définition de la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$, ensuite regarder son comportement autour de $2$ ! Par exemple, la fonction est-elle définie à gauche de $2$ ? à droite de $2$ ?

Question 3 :

Vous pouvez commencer par transformer l’expression donnée en écrivant que pour tout réel $x\neq 0$, on a $\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\frac{\sin(5x)}{5x}$ ;-)

Cette écriture met en évidence la composition de fonctions. En effet, $\displaystyle x\mapsto\frac{\sin(5x)}{5x}$ est la composée de $x\mapsto 5x$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$ …

Question 4 :

Vous pouvez commencer par transformer l’expression donnée en écrivant que pour tout réel $x\neq 0$, on a $\displaystyle x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Corrigé

1) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}$

Pour $x>0$, on a $x^2+x+1>0$ (Somme de quantités positives).

La fonction $\displaystyle f_1\,:\,x\mapsto\sqrt{x^2+x+1}$ est donc bien définie au voisinage de l’infini.

D’autre part, $f_1$ est la composée de $x\mapsto x^2+x+1$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Puisque $x\mapsto x^2+x+1$ est une fonction polynomiale, on peut utiliser le fait qu’au voisinage de $+\infty$, une fonction polynomiale a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Ainsi, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^2+x+1=\lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$.

De plus, $\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$, on peut donc écrire,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^2+x+1=\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$ par composition avec $\displaystyle y=x^2+x+1$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}=+\infty$.

Note :

Voici une proposition de rédaction si vous ne souhaitez pas utiliser le fait qu’au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$, une fonction polynomiale a les mêmes limites que son monôme de plus haut degré.

Pour $x> 0$, on a :

$$\begin{align}\sqrt{x^2+x+1}&=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}\\&=|x|\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\&=x\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\quad\text{car }x>0\end{align}$$

À nouveau, $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=1$ (car $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0$) et $\displaystyle\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$, on peut écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$.

Finalement, par produit, on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=+\infty$.

D’où, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}=+\infty$.


2) Limite éventuelle en $+\infty$ de $\displaystyle\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$

Notons $f_2$ la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$.

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f_2$.

$f_2$ est définie si et seulement si $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}\geq 0$ et $2-x\neq 0$.

Signe de $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}$ :

L’approche est la suivante :

On cherche les racines de l’équation du second degré $x^2-3x-4=0$ pour l’écrire comme produit de deux monômes. Cette écriture permet d’étudier le signe de $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}$ plus facilement ;-)

L’équation $x^2-3x-4=0$ d’inconnue réelle $x$ a pour discriminant $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times (-4)=25$ strictement positif. Elle possède donc deux solutions distinctes, à savoir $-1$ et $4$.

La fonction rationnelle $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}\,\,$ s’écrit donc sous la forme $\displaystyle\frac{(x-4)(x+1)}{2-x}$.

Tableau de signe :

$$\large\begin{array}{|c|lccccccccr|} \hline x & -\infty&&-1&&2&&4&&+\infty \\  \hline x+1&&\quad -\quad&0&\quad+\quad&&\quad+\quad&&\quad+\quad&\\  \hline 2-x&&\quad +\quad&&\quad+\quad&0&\quad-\quad&&\quad-\quad&\\  \hline x-4&&\quad -\quad&&\quad-\quad&&\quad-\quad&0&\quad+\quad&\\  \hline \frac{(x-4)(x+1)}{2-x}&&\quad +\quad&0&\quad-\quad&\|&\quad+\quad&&\quad-\quad&\\\hline\end{array}$$

$f_2$ est ainsi définie sur $\displaystyle ]-\infty\,,\,-1]\,\cup\,]2\,,\,4]$.

Il est demandé de déterminer la limite de $f_2$ au voisinage de $2$. Cherchons donc la limite de $f_2$ à droite de $2$ ($f_2$ n’est pas définie à gauche de $2$).

$f_2$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

On détermine d’abord la limite de la fonction rationnelle $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ à droite de $2$ et on a :

$\displaystyle\lim_{x\to 2} x^2-3x-4=2^2-3\times 2-4=-6<0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}2-x=0^-$

Par ailleurs,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\frac{x^2-3x-4}{2-x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{y\to+\infty}\sqrt{y}=+\infty$.

On peut donc écrire,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}=\lim_{y\to+\infty}\sqrt{y}=+\infty $ par composition avec $\displaystyle y=\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ (et $x\D_f_2$).

Finalement, $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}=+\infty$


3) Calcul de la la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}$

Pour $x\neq 0$, on a $\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\frac{\sin(5x)}{5x}$.

Or, $\displaystyle x\mapsto\frac{\sin(5x)}{5x}$ est la composée de $x\mapsto 5x$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}5x=0$ et d’après l’indication donnée dans l’énoncé que $\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$,

On en déduit que,

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$ par composition avec $y=5x$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=5$.


4) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Pour $x\neq 0$, on a $\displaystyle x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Or, la fonction $\displaystyle\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x}$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$.

Comme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$,

Alors, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ et $x\neq 0$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=1$

 

Remarque :

La rédaction est parfois lourde et il nous/vous arrivera de l’alléger mais il faudra garder à l’esprit qu’il est nécessaire de s’interroger sur la façon dont est construite la fonction composée, sur son type d’expression puisque, de cette analyse, découle la méthode à utiliser :-)

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
  1. Bonjour,

    Pour assurer l’existence de la limite de fonctions composées, il faut tout de même s’assurer que la fonction f n’égale pas sa limite sur une intervalle ouvert contenant a. C’est une restriction à apporter au théorème admis.
    Bonne journée.

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