Limites d’une fonction composée : Rappels et méthodes

Cet exercice traitant des limites d’une fonction composée fait partie d’une série de révisions et de rappels autour des limites de fonctions.

La série a été commencée hier matin avec ce premier article que vous pouvez consulter ici.

Cet exercice ne présente pas de grandes difficultés, il vise avant tout à rafraîchir les connaissances, revenir sur les méthodes vues l’année dernière, et vous proposer des éléments de rédaction.

Bon exercice

 

(Rappel) Théorème « admis » – Limite d’une fonction composée :

Soient deux fonctions $f$ et $g$, et soient $a$, $b$ et $\ell$ des réels ou $-\infty$ ou $+\infty$.

Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b$ et si $\displaystyle\lim_{x\to b}g(x)=\ell$ alors $\displaystyle\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{x\to a}g\circ f(x)=\ell$.

 

1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}$

2) Déterminer la limite éventuelle en $2$ de $\displaystyle\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$

3) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}$.

Rappel : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

4) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les questions délicates ou particulièrement difficiles

Question 2 :

Vous pouvez commencer par déterminer le domaine de définition de la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$, ensuite regarder son comportement autour de $2$ ! Par exemple, la fonction est-elle définie à gauche de $2$ ? à droite de $2$ ?

Question 3 :

Vous pouvez commencer par transformer l’expression donnée en écrivant que pour tout réel $x\neq 0$, on a $\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\frac{\sin(5x)}{5x}$

Cette écriture met en évidence la composition de fonctions. En effet, $\displaystyle x\mapsto\frac{\sin(5x)}{5x}$ est la composée de $x\mapsto 5x$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$ …

Question 4 :

Vous pouvez commencer par transformer l’expression donnée en écrivant que pour tout réel $x\neq 0$, on a $\displaystyle x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

1) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}$

Pour $x>0$, on a $x^2+x+1>0$ (Somme de quantités positives).

La fonction $\displaystyle f_1\,:\,x\mapsto\sqrt{x^2+x+1}$ est donc bien définie au voisinage de l’infini.

D’autre part, $f_1$ est la composée de $x\mapsto x^2+x+1$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Puisque $x\mapsto x^2+x+1$ est une fonction polynomiale, on peut utiliser le fait qu’au voisinage de $+\infty$, une fonction polynomiale a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Ainsi, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^2+x+1=\lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$.

De plus, $\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$, on peut donc écrire,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^2+x+1=\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$ par composition avec $\displaystyle y=x^2+x+1$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}=+\infty$.

Note :

Voici une proposition de rédaction si vous ne souhaitez pas utiliser le fait qu’au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$, une fonction polynomiale a les mêmes limites que son monôme de plus haut degré.

Pour $x> 0$, on a :

$$\begin{align}\sqrt{x^2+x+1}&=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}\\&=|x|\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\&=x\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\quad\text{car }x>0\end{align}$$

À nouveau, $\displaystyle x\mapsto\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=1$ (car $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0$) et $\displaystyle\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$, on peut écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$.

Finalement, par produit, on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\times\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=+\infty$.

D’où, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+x+1}=+\infty$.

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2) Limite éventuelle en $+\infty$ de $\displaystyle\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$

Notons $f_2$ la fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}$.

On commence par déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f_2$.

$f_2$ est définie si et seulement si $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}\geq 0$ et $2-x\neq 0$.

Signe de $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}$ :

L’approche est la suivante :

On cherche les racines de l’équation du second degré $x^2-3x-4=0$ pour l’écrire comme produit de deux monômes. Cette écriture permet d’étudier le signe de $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}$ plus facilement

L’équation $x^2-3x-4=0$ d’inconnue réelle $x$ a pour discriminant $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times (-4)=25$ strictement positif. Elle possède donc deux solutions distinctes, à savoir $-1$ et $4$.

La fonction rationnelle $\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{2-x}\,\,$ s’écrit donc sous la forme $\displaystyle\frac{(x-4)(x+1)}{2-x}$.

Tableau de signe :

$$\large\begin{array}{|c|lccccccccr|} \hline x & -\infty&&-1&&2&&4&&+\infty \\  \hline x+1&&\quad -\quad&0&\quad+\quad&&\quad+\quad&&\quad+\quad&\\  \hline 2-x&&\quad +\quad&&\quad+\quad&0&\quad-\quad&&\quad-\quad&\\  \hline x-4&&\quad -\quad&&\quad-\quad&&\quad-\quad&0&\quad+\quad&\\  \hline \frac{(x-4)(x+1)}{2-x}&&\quad +\quad&0&\quad-\quad&\|&\quad+\quad&&\quad-\quad&\\\hline\end{array}$$

$f_2$ est ainsi définie sur $\displaystyle ]-\infty\,,\,-1]\,\cup\,]2\,,\,4]$.

Il est demandé de déterminer la limite de $f_2$ au voisinage de $2$. Cherchons donc la limite de $f_2$ à droite de $2$ ($f_2$ n’est pas définie à gauche de $2$).

$f_2$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

On détermine d’abord la limite de la fonction rationnelle $\displaystyle x\mapsto\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ à droite de $2$ et on a :

$\displaystyle\lim_{x\to 2} x^2-3x-4=2^2-3\times 2-4=-6<0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}2-x=0^-$

Par ailleurs,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\frac{x^2-3x-4}{2-x}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{y\to+\infty}\sqrt{y}=+\infty$.

On peut donc écrire,

$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}=\lim_{y\to+\infty}\sqrt{y}=+\infty $ par composition avec $\displaystyle y=\frac{x^2-3x-4}{2-x}$ (et $x\D_f_2$).

Finalement, $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}}\sqrt{\frac{x^2-3x-4}{2-x}}=+\infty$

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3) Calcul de la la limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}$

Pour $x\neq 0$, on a $\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\frac{\sin(5x)}{5x}$.

Or, $\displaystyle x\mapsto\frac{\sin(5x)}{5x}$ est la composée de $x\mapsto 5x$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0}5x=0$ et d’après l’indication donnée dans l’énoncé que $\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$,

On en déduit que,

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$ par composition avec $y=5x$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}=5\times\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=5$.

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4) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Pour $x\neq 0$, on a $\displaystyle x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$

Or, la fonction $\displaystyle\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x}$ et de $\displaystyle y\mapsto\frac{\sin(y)}{y}$.

Comme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$,

Alors, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ et $x\neq 0$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=1$

 

Remarque :

La rédaction est parfois lourde et il nous/vous arrivera de l’alléger mais il faudra garder à l’esprit qu’il est nécessaire de s’interroger sur la façon dont est construite la fonction composée, sur son type d’expression puisque, de cette analyse, découle la méthode à utiliser

FIN