Limites de fonctions (Formes indéterminées) : Rappels et méthodes

Dans cet exercice, je reviens sur le calcul des limites de fonctions donnant lieu à des formes indéterminées et les premières techniques pour lever ces indéterminations.

Comme ses prédécesseurs que vous pouvez lire en cliquant ici et là, c’est un exercice de révisions et de rappels. Il ne présente pas de difficultés majeures et vise avant tout à rafraîchir les connaissances, revenir sur les méthodes vues l’année dernière, et vous proposer des éléments de rédaction.

Enfin, cet exercice n’aborde pas toutes les formes indéterminées. J’ai fait ce choix pour ne pas vous surcharger d’exemples. D’autres exercices sont à venir.

Bon exercice

 

1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}\right)$

2) Déteminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\right)$

3) Soit $f$ la function définie par :

$$f\,:\begin{cases}]-1\,,\,+\infty[\to\mathbb{R}\\x\mapsto\frac{x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}\end{cases}$$

Déterminer les limites éventuelles de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

 

Vous trouverez dans cet onglet des indications pour les questions délicates ou particulièrement difficiles

Question 1 :

Si vous essayer de calculer cette limite directement, vous aboutirez à une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$.

Pour lever cette indétermination, je propose de factoriser par $x^2$ sous chacune des racines.

Après calcul, vous aurez pour tout réel $x>0$,

$$\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}=x\times\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)$$

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Question 2 :

Même punition ! À calcul direct, forme indéterminée. Cette fois, elle est du type $+\infty -\infty$.

Pour lever cette indétermination, je propose de multiplier par l’expression conjuguée de $\displaystyle\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}$.

Après calcul, vous aurez pour tout réel $x>0$,

$$\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}=\frac{2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}$$

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Question 3 :

Là aussi, pas de chance ! Voire même double peine! Vous aurez une forme indéterminée si vous tentez un calcul direct des limites que cela soit en $0$ ou en $+\infty$.

La levée de l’indétermination diffère selon que soyez en $0$ ou au voisinage de $+\infty$.

Limite en $0$ :

Je propose de multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur.

Après calcul, on obtient que pour tout réel $x$ dans $D_f$,

$$f(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}}{x-1}$$

 

Limite en $+\infty$ :

Si vous essayer de lever cette indétermination en suivant la méthode du calcul précédent, c’est à dire en multipliant numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur, vous aurez à nouveau une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, je propose de factoriser par $x^2$ sous les racines.

Après calcul, vous aurez pour $x>0$,

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}}$$

 

1) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}\right)$

Le calcul direct de cette limite mène à une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$. Pour lever cette indétermination, on factorise par $x^2$ sous chacune des racines.

Pour tout réel $x>0$, on a,

$$\begin{align}\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}&=\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}-\sqrt{x^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}\\&=|x|\times\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)\\&=x\times\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)\quad\text{car }x>0\end{align}$$

La fonction $\displaystyle\mapsto\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto 1+\frac{3}{x^2}$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Or, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}1+\frac{3}{x^2}=1$ et $\displaystyle\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$.

On peut donc écrire que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}=\lim_{y\to 1 }\sqrt{y}=1$ par composition avec $y=1+\frac{3}{x^2}$.

Avec un raisonnement analogue, on démontre que la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=0$.

On en déduit par somme que la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=1$

Puis par produit,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}\right)&=\lim_{x\to +\infty} x\times\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)\\&=+\infty\end{align}$$

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}\right)=+\infty$.

 

2) Calcul de la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\right)$

Le calcul direct de cette limite aboutit à une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$. Pour lever cette indétermination, on multiplie pas l’expression conjuguée de $\displaystyle\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}$.

Pour tour réel $x>0$, on a,

$$\begin{align}\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}&=\frac{\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\right)\times\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}\right)}{ \sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}\\&=\frac{2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$

Calculons la limite du dénominateur lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :

La fonction $\displaystyle x\mapsto\sqrt{x^2+3}$ est la composée de $\displaystyle x\mapsto x^2+3$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Puisque,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^2+3=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$

Alors on peut écrire que,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+3}=\lim_{y\to +\infty}\sqrt{y}=+\infty$ par composition avec $y=x^2+3$

De la même façon, on démontre que la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty$.

D’où par somme,

$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}\right)=+\infty$$

Puis par quotient,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}=0$$

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\right)=0$.

 

3) Calcul des limites éventuelles de $f$ en $0$ et en $+\infty$ :

$f$ la function définie par :

$$f\,:\begin{cases}]-1\,,\,+\infty[\to\mathbb{R}\\x\mapsto\frac{x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}\end{cases}$$

Limite de $f$ en $0$ :

En $0$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$, il s’agit donc d’une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$.

Pour lever cette indétermination, je propose de multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur.

Et on a pour tout réel $x$ dans $D_f$,

$$\begin{align}f(x)&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}\\&=\frac{x\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}\right)}{\left(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}\right)\times\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}\right)}\\&=\frac{x\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}\right)}{1+x^2-(1+x)}\\&=\frac{x\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}\right)}{x(x-1)}\\&=\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}}{x-1}\quad\text{pour }x\neq 0\end{align}$$

D’où par passage à la limite,

$$\begin{align}\lim_{x\to 0}f(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x}}{x-1}\\&=\frac{\sqrt{1+0^2}+\sqrt{1+0}}{0-1}\\&=-2\end{align}$$

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=-2$.

 

Limite de $f$ au voisinage de $+\infty$ :

En $+\infty$, nous avons une forme indéterminée du type $+\infty -\infty$ au dénominateur.

On peut tenter de lever cette indétermination en suivant la même méthode que pour le calcul de la limite de $f$ en $2$, c’est à dire en multipliant numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur, mais en regardant l’expression obtenue, on a à nouveau une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, je propose la méthode suivante qui consiste à factoriser par $x^2$ sous les racines.

Pour $x>0$, on a :

$$\begin{align}f(x)&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}\\&=\frac{x}{\sqrt{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}-\sqrt{x^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\right)}}\\&=\frac{x}{|x|\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}-|x|\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}}\\&=\frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}-x\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}}\quad\text{car }x>0\\&=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}}\end{align}$$

La fonction $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}$ est la composée de $x\mapsto\frac{1}{x^2}+1$ et de $y\mapsto\sqrt{y}$.

Or,

$$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)=1$ et $\displaystyle\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$$

On peut donc écrire que,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}= \lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1$ par composition avec $\displaystyle y=\frac{1}{x^2}+1$.

De la même façon, on démontre que la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}=0$.

Puis par somme, on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}}\right)=1$.

Finalement, par quotient on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$.

 

FIN