Enoncé
Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$.
Et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a :
$$u_n>\sqrt{a}$$
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
4. Montrer que la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\sqrt{a}$ .
FIN
Indications
Vous trouverez dans cet onglet des indications pour aborder les passages délicats ou particulièrement difficiles de cet exercice 
$a$ est un réel strictement positif différent de $1$.
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$
Question 1 :
Vous pouvez faire une preuve par récurrence.
Question 2 :
Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, il suffit de montrer que la différence $u_{n+1}-u_n$ est strictement négative.
Question 4 :
Il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.
Le voici pour rappel :
(1) Toute suite croissante majorée est convergente.
(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.
Question 4 :
Cette question est assez délicate en terme de justification.
On sait d’après la question précédente que la suite $(u_n)$ converge vers une limite que l’on nommera $\ell$ et dont on cherche la valeur.
La définition de la suite nous amène à résoudre l’équation $f(\ell)=\ell$ …
FIN
Corrigé
$a$ est un réel strictement positif différent de $1$.
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
$$u_n>\sqrt{a}$$
Je propose une preuve par récurrence.
Vous trouverez ici et là deux articles sympa sur le raisonnement par récurrence
Pour $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on note $\mathcal{P}_n$ la propriété :
$$u_n>\sqrt{a}$$
Initialisation :
Pour $n=1$, on a :
$$u_1=\frac{1}{2}(1+a)$$
Or,
$$(1-\sqrt{a})^2=1-2\sqrt{a}+a\,>0$$
On en déduit que,
$$1+a>2\sqrt{a}$$
Puis,
$$\frac{1+a}{2}>\sqrt{a}$$
Et par suite,
$$u_1=\frac{1}{2}(1+a)>\sqrt{a}$$
$\mathcal{P}_1$ est donc vérifiée.
Hérédité :
Fixons $n$ dans $\mathbb{N}^*$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. On a donc :
$$u_n>\sqrt{a}$$
L’idée ici est démontrer que $u_{n+1}>\sqrt{a}$ c’est à dire $u_{n+1}-\sqrt{a}>0$.
$$\begin{align}u_{n+1}-\sqrt{a}&=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)-\sqrt{a}\\&=\frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}\,u_n}{2u_n}\\&=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}\end{align}$$
Grâce à $\mathcal{P}_n$, on a $u_n>\sqrt{a}$. Comme $a$ est un réel strictement positif alors on a $u_n>0$ (dénominateur de la quantité ci-dessus). De plus, $(u_n-\sqrt{a})^2>0$ alors,
$$u_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}>0$$
Et par suite,
$$u_{n+1}>\sqrt{a}$$
C’est exactement $\mathcal{P}_{n+1}$.
$\mathcal{P}_{n+1}$ est donc vraie.
On peut donc conclure que la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$.
On a donc $u_n>\sqrt{a}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante :
Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, il suffit de montrer que la différence $u_{n+1}-u_n$ est strictement négative.
On a,
$$\begin{align}u_{n+1}-u_n&=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)-u_n\\&=\frac{u_n^2+a-2u_n^2}{2u_n}\\&=\frac{a-u_n^2}{2u_n}\end{align}$$
Puisque $a$ est un réel strictement positif, alors on peut écrire :
$$\begin{align}u_{n+1}-u_n&=\frac{(\sqrt{a}-u_n)(\sqrt{a}+u_n)}{2u_n}\end{align}$$
Or d’après le résultat établit à la précédente question, on a $u_n>\sqrt{a}$ donc,
$$\begin{align}u_{n+1}-u_n&=\frac{(\sqrt{a}-u_n)(\sqrt{a}+u_n)}{2u_n}<0\end{align}$$
Et par suite, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente :
Pour répondre à cette question, il suffit d’appliquer le théorème de la convergence monotone.
Le voici pour rappel :
(1) Toute suite croissante majorée est convergente.
(2) Toute suite décroissante minorée est convergente.
Il est à noter que ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.
La suite $(u_n)$ est strictement décroissante (cf. question précédente) et minorée par $\sqrt{a}$ (cf. question 1 : $u_n>\sqrt{a}\,,\,\forall n\in\mathbb{N}^*$). Donc d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.
4. Montrer que la limite : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\sqrt{a}$
D’après la question précédente, la suite $(u_n)$ converge. Notons $\ell$ sa limite.
On peut donc écrire que :
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell$
Notons que $\ell$ est strictement positif pour tout entier naturel $n\geq 1$, $u_n>\sqrt{a}$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell>\sqrt{a}$.
Comme, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ où $\displaystyle f\,:x\mapsto\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$ est continue sur $]0\,;\,+\infty[$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f(\ell)$.
Par unicité de la limite de la suite $(u_{n+1})$, $f(\ell)=\ell$.
Résolution de l’équation $f(\ell)=\ell$ :
L’équation $f(\ell)=\ell$ est équivalente à $\displaystyle\frac{1}{2}\left(\ell+\frac{a}{\ell}\right)=\ell$, c’est à dire $2\ell^2=\ell^2+a$ ou encore $\ell^2=a$.
Puisque $\ell$ est strictement positif, alors $\ell=\sqrt{a}$.
Finalement, la limite $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\sqrt{a}$.
La suite $(u_n)$ est donc convergente et sa limite vaut $\sqrt{a}$.
REMARQUE IMPORTANTE :
L’argument qui permet de conclure dans cette question est la continuité de la fonction $\displaystyle f\,:x\mapsto\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$ sur l’intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
En effet, si $f$ n’est pas continue sur cet intervalle ou en $\ell$, alors il n’y a aucune raison que la suite $(f(u_n))$ converge $f(\ell)$.
Le contre-exemple ci-dessous illustre ce propos :
On considère une suite $(u_n)$ qui converge vers $1$ et la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\begin{cases}x+1\,\quad\text{Si }x\neq 1\\1\qquad\quad\text{Si }x=1\end{cases}$$
On a $f(1)=1$ mais,
$$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=2\neq f(1)$$
Donc la suite $(f(u_n))$ ne convergera pas vers $f(1)=1$ mais vers $2$.
FIN
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.
La suite u_n proposée est une suite récurrente d’ordre 1, avec la fonction f que vous suggérez. Il y a des théorèmes donnant des conditions pour que u_n soit convergente. i f est croissante, u_n est monotone, si f est décroissante, u_{2n+1} et u_{2n} sont monotones de sens contraires. Elles convergent vers les points fixes de f.
Pour votre contre-exemple, il faut imposer à u_n d’être différente de 1 à partir d’un certain rang. Sinon, je prends la suite u_n=1 pour tout n. Et f(u_n) converge bien sans pour autant que f soit continue.