Enoncé

Calcul de limites : Polynômes, fonction rationnelle.

Cette exercice ne présente pas de difficultés particulières. Il vise surtout à rafraîchir les connaissances en rappelant les méthodes vues l’année dernière, et à vous donner des éléments rédactionnels.

Bon exercice :)

1) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^3+3x-7$.

2) Déterminer la limite : $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^4-3x^2+7x-1$.

3) Déterminer les limites de $\displaystyle f(x)=\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}$ aux bornes de l’ensemble de définition de $f$.

Corrigé

1) Calcul de la limite $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^3+3x-7$ :

La fonction $\displaystyle x\mapsto x^3+3x-7$ est une fonction polynomiale. On peut donc utiliser le fait qu’au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$, une fonction polynomiale a les mêmes limites que son monôme de plus haut degré.

Ainsi,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty} x^3+3x-7&=\lim_{x\to +\infty} x^3 \\&= +\infty\end{align}$$

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^3+3x-7 =+\infty$.

Note :

Si vous ne souhaitez pas utiliser l’approche ci-dessus, la méthode habituelle consiste à transformer l’expression du polynôme $\displaystyle x\mapsto x^3+3x-7$ en factorisant par son monôme de plus haut degré.

Ainsi, pour $x\neq 0$, on a :

$$x^3+3x-7=x^3\left(1+\frac{3}{x^2}-\frac{7}{x^3}\right)$$

L’expression obtenue est un produit. On cherche alors la limite de chacun des facteurs et on obtient :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{3}{x^2}-\frac{7}{x^3}\right)=1$

D’où, par produit,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty} x^3+3x-7&=\lim_{x\to +\infty}x^3\left(1+\frac{3}{x^2}-\frac{7}{x^3}\right)\\&=+\infty\end{align}$$


2) Calcul de la limite $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^4-3x^2+7x-1$ :

La démarche est analogue à celle de la question précédente et on trouve :

$$\begin{align}\lim_{x\to -\infty} x^4-3x^2+7x-1 &=\lim_{x\to -\infty} x^4\\&= +\infty\end{align}$$


3) Limites de $\displaystyle f(x)=\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}$ aux bornes de l’ensemble de définition de $f$ :

Commençons par déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}$$

Pour que $f$ soit définie, il faut et il suffit que le dénominateur $x^2-x+1$ soit différent de $0$.

L’équation $x^2-x+1=0$ d’inconnue réelle $x$ a pour discriminant $\Delta=1-4\times 1\times 1=-3$ strictement négatif. Elle ne possède donc aucune racines réelle et pour tout réel $x$, on a $x^2-x+1\neq 0$.

$f$ est ainsi définie sur $\mathbb{R}$.

On cherche donc les limites de $f$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$.

Pour ce faire, on utilise le fait qu’au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$, une fonction rationnelle a les mêmes limites que le quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On obtient donc,

$$\begin{align}\lim_{x\to -\infty}f(x)&=\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}\\&=\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^3}{x^2}\\&=\lim_{x\to -\infty}3x\\&=-\infty\end{align}$$

et,

$$\begin{align}\lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}3x\\&=+\infty\end{align}$$

Finalement, on a $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

Note :

Si vous ne souhaitez pas utiliser l’approche ci-dessus, vous pouvez utiliser la méthode habituelle qui consiste à transformer l’expression $\displaystyle\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}$ en factorisant chacun des numérateur et dénominateur par son monôme de plus haut degré.

Ainsi, pour tout réel $x$ différent de $0$, on a,

$$\begin{align}f(x)&=\frac{3x^3+x-5}{x^2-x+1}\\&=\frac{x^3\left(3+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}\\&=x\times\frac{3+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\end{align}$$

Comme $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(3+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}\right)=3$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=1$,

Alors par quotient,

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=3$

Puis par produit,

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x\times\frac{3+\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^3}}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-\infty$.

Finalement, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.

 

La démarche est la même en $+\infty$ et on trouve $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ ;-).

FIN

Saïd BENLAADAM
Je suis ingénieur télécoms de formation et j’exerce ce métier depuis toujours. Je reste cependant passionné par les mathématiques et très proche de ce domaine.
À travers mathsland, je m’enrichis chaque jour au contact de personnes remarquables, passionnées et passionnantes.

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